Для решения неравенства tg(2x + 2π/3) ≤ √3/3, нам нужно следовать нескольким шагам. Давайте разберем их по порядку.

Неравенство tg(2x + 2π/3) ≤ √3/3 означает, что мы ищем такие значения x, при которых тангенс выражения (2x + 2π/3) не превышает √3/3.

Значение √3/3 соответствует углу 30 градусов (или π/6 радиан). Однако, поскольку тангенс - это периодическая функция с периодом π, нам нужно учитывать все углы, где тангенс равен √3/3.

Тангенс равен √3/3 при следующих углах:

• θ = π/6 + kπ, где k - целое число (это общее решение для tg(θ) = √3/3).

Теперь мы можем записать неравенство:

• 2x + 2π/3 ≤ π/6 + kπ
• или 2x + 2π/3 ≤ -π/6 + kπ

Решим первое неравенство:

1. 2x + 2π/3 ≤ π/6 + kπ
2. 2x ≤ π/6 - 2π/3 + kπ
3. 2x ≤ π/6 - 4π/6 + kπ
4. 2x ≤ -3π/6 + kπ
5. 2x ≤ -π/2 + kπ
6. x ≤ -π/4 + kπ/2

Теперь решим второе неравенство:

1. 2x + 2π/3 ≤ -π/6 + kπ
2. 2x ≤ -π/6 - 2π/3 + kπ
3. 2x ≤ -π/6 - 4π/6 + kπ
4. 2x ≤ -5π/6 + kπ
5. x ≤ -5π/12 + kπ/2

Мы получили два семейства решений:

• x ≤ -π/4 + kπ/2
• x ≤ -5π/12 + kπ/2

Теперь, чтобы получить окончательное решение, мы можем объединить эти два условия. Поскольку оба выражения имеют общий период π/2, мы можем записать общее решение для x, которое будет включать оба условия.

Таким образом, окончательное решение неравенства tg(2x + 2π/3) ≤ √3/3 будет выглядеть следующим образом:

• x ≤ -π/4 + kπ/2, k ∈ Z
• или x ≤ -5π/12 + kπ/2, k ∈ Z

Где k - любое целое число. Это и есть решение нашего неравенства.