Помогите, пожалуйста, решить неравенство: 2 cos x + cos 2x + 1 ≤ 0.

Математика 11 класс Неравенства тригонометрических функций неравенство решение неравенства математика 11 класс косинус алгебра Тригонометрия математические функции неравенства в тригонометрии Новый

Давайте разберем неравенство 2 cos x + cos 2x + 1 ≤ 0 шаг за шагом.

Первым делом вспомним, что косинус двойного угла можно выразить через косинус одного угла. Формула для косинуса двойного угла выглядит следующим образом:

• cos 2x = 2 cos² x - 1

Теперь подставим это выражение в наше неравенство:

2 cos x + (2 cos² x - 1) + 1 ≤ 0.

Упростим это выражение:

• 2 cos x + 2 cos² x - 1 + 1 ≤ 0
• 2 cos x + 2 cos² x ≤ 0

Теперь вынесем общий множитель 2:

2 (cos² x + cos x) ≤ 0.

Так как 2 - положительное число, можно разделить обе стороны неравенства на 2, не меняя знака неравенства:

cos² x + cos x ≤ 0.

Теперь мы можем вынести общий множитель cos x:

cos x (cos x + 1) ≤ 0.

Теперь у нас есть произведение двух множителей, которое должно быть меньше или равно нулю. Чтобы решить это неравенство, найдем корни:

• cos x = 0
• cos x + 1 = 0 → cos x = -1

Теперь определим, при каких значениях x эти равенства выполняются:

• cos x = 0: x = π/2 + kπ, где k - любое целое число.
• cos x = -1: x = π + 2kπ, где k - любое целое число.

Теперь мы должны проанализировать знаки произведения cos x (cos x + 1) на интервалах, определяемых корнями:

• Интервал (-∞, π/2): cos x > 0, cos x + 1 > 0 → произведение > 0.
• Интервал (π/2, π): cos x < 0, cos x + 1 > 0 → произведение < 0.
• Интервал (π, 3π/2): cos x < 0, cos x + 1 < 0 → произведение > 0.
• Интервал (3π/2, 2π): cos x > 0, cos x + 1 < 0 → произведение < 0.

Теперь мы можем записать, где неравенство выполняется:

Произведение cos x (cos x + 1) ≤ 0 выполняется на интервалах:

• x ∈ (π/2, π),
• x = π/2,
• x = π,
• x ∈ (3π/2, 2π),
• x = 3π/2.

Таким образом, общее решение неравенства:

x ∈ [π/2, π] ∪ [3π/2, 2π] + 2kπ, где k - любое целое число.

Это и есть решение нашего неравенства!