У меня срочная просьба!

Пожалуйста, помогите решить следующие неравенства:

1. cos2x < 1/2
2. 2cos²4x > 1,5

Математика 11 класс Неравенства тригонометрических функций неравенства математика 11 класс решение неравенств cos2x 2cos²4x математические задачи Новый

Давайте поочередно решим каждое из данных неравенств.

1. Решение неравенства cos(2x) < 1/2

Сначала вспомним, что косинус принимает значения от -1 до 1. Для того чтобы решить неравенство, нам нужно найти, когда косинус меньше 1/2.

1. Находим углы, для которых cos(2x) = 1/2. Это происходит в следующих точках:
• 2x = π/3 + 2kπ (где k - целое число)
• 2x = 5π/3 + 2kπ
2. Теперь делим на 2, чтобы найти значения x:
• x = π/6 + kπ
• x = 5π/6 + kπ
3. Теперь определяем промежутки, в которых cos(2x) < 1/2. Это происходит между этими значениями:
• x ∈ (π/6 + kπ, 5π/6 + kπ)

Таким образом, общее решение для неравенства cos(2x) < 1/2 будет:

x ∈ (π/6 + kπ, 5π/6 + kπ), где k - целое число.

2. Решение неравенства 2cos²(4x) > 1,5

Сначала упростим неравенство:

• 2cos²(4x) > 1,5
• cos²(4x) > 0,75
• cos²(4x) > 3/4

Теперь найдем, когда cos(4x) > √(3/4) или cos(4x) < -√(3/4).

1. Сначала найдем углы для cos(4x) = √(3/4):
• 4x = arccos(√(3/4)) + 2kπ
• 4x = -arccos(√(3/4)) + 2kπ
2. Теперь делим на 4:
• x = (arccos(√(3/4)) + 2kπ)/4
• x = (-arccos(√(3/4)) + 2kπ)/4
3. Аналогично находим углы для cos(4x) = -√(3/4):
• 4x = π + arccos(√(3/4)) + 2kπ
• 4x = π - arccos(√(3/4)) + 2kπ
4. Делим на 4:
• x = (π + arccos(√(3/4)) + 2kπ)/4
• x = (π - arccos(√(3/4)) + 2kπ)/4

Теперь определяем промежутки для значений, где cos(4x) > √(3/4) и cos(4x) < -√(3/4). Это можно сделать графически или по таблице значений косинуса. В итоге, мы получим несколько промежутков.

Таким образом, общее решение для неравенства 2cos²(4x) > 1,5 будет объединением всех промежутков, где cos(4x) > √(3/4) и cos(4x) < -√(3/4).

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с конкретными промежутками, дайте знать!