Как можно решить неравенство sinx - cos²x > 0?

Математика 11 класс Неравенства тригонометрических функций неравенство решение неравенства sinx cos2x математические неравенства алгебраические неравенства тригонометрические функции Новый

Давай разберёмся с этим неравенством! Это не просто задача, это настоящая математическая приключенческая игра! Мы будем использовать некоторые тригонометрические тождества и свойства функций. Готов? Поехали!

Неравенство, которое нам нужно решить, выглядит так:

sin(x) - cos²(x) > 0

Первый шаг - вспомнить одно важное тригонометрическое тождество:

cos²(x) = 1 - sin²(x)

Давай подставим это в наше неравенство:

sin(x) - (1 - sin²(x)) > 0

Теперь упростим это:

• sin(x) + sin²(x) - 1 > 0

Теперь мы можем переписать это неравенство в более привычной форме:

sin²(x) + sin(x) - 1 > 0

Это квадратное неравенство относительно sin(x). Давай обозначим:

y = sin(x)

Теперь наше неравенство выглядит так:

y² + y - 1 > 0

Теперь нам нужно найти корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

• D = b² - 4ac = 1² - 4 * 1 * (-1) = 1 + 4 = 5

Корни уравнения:

• y₁ = (-1 - √5) / 2
• y₂ = (-1 + √5) / 2

Теперь давай вычислим эти корни:

• y₁ ≈ -1.618
• y₂ ≈ 0.618

Теперь мы знаем, что квадратное неравенство будет положительным вне интервала между корнями. То есть:

y < -1.618 или y > 0.618

Но помним, что sin(x) принимает значения только в диапазоне от -1 до 1. Поэтому мы отбрасываем первое условие:

sin(x) > 0.618

Теперь нам нужно найти, для каких значений x это выполняется. Мы можем воспользоваться арксинусом:

x = arcsin(0.618) + 2kπ и x = π - arcsin(0.618) + 2kπ, где k - любое целое число.

Таким образом, мы нашли решение нашего неравенства! Это круто, правда?!

Итак, финальный ответ:

x ∈ (arcsin(0.618) + 2kπ, π - arcsin(0.618) + 2kπ), k ∈ Z

Продолжай в том же духе, и ты покоришь мир математики!