Давайте разберем оба неравенства по очереди.

Для начала, вспомним, что значение косинуса колеблется от -1 до 1. Мы можем использовать обратную функцию косинуса, чтобы найти границы для 2x:

1. Найдите углы, при которых cos θ = 1/2. Это происходит при θ = π/3 и θ = 5π/3 в пределах одного полного оборота (0 до 2π).
2. Поскольку у нас 2x, мы можем записать: 2x = π/3 + 2kπ и 2x = 5π/3 + 2kπ, где k - любое целое число.
3. Теперь решим каждое из уравнений для x:
• x = π/6 + kπ
• x = 5π/6 + kπ

Теперь нужно определить промежутки, где cos 2x < 1/2. Это будет между значениями, найденными выше:

• Первый промежуток: (π/6 + kπ, 5π/6 + kπ)

Таким образом, общее решение неравенства cos 2x < 1/2 будет:

• x ∈ (π/6 + kπ, 5π/6 + kπ),где k - любое целое число.

Сначала упростим неравенство:

1. Разделим обе стороны на 2: cos² 4x > 0,75.
2. Теперь возьмем корень из обеих сторон, помня, что мы имеем дело с квадратом: |cos 4x| > √0,75.

Значение √0,75 можно упростить до √(3/4) = √3/2.

Теперь у нас есть два случая:

1. cos 4x > √3/2
2. cos 4x < -√3/2

Рассмотрим первый случай:

• cos 4x > √3/2 происходит при 4x ∈ (-π/6 + 2kπ, π/6 + 2kπ) и (11π/6 + 2kπ, 13π/6 + 2kπ).
• Решим для x: x ∈ (-π/24 + kπ/2, π/24 + kπ/2) и (11π/24 + kπ/2, 13π/24 + kπ/2).

Теперь рассмотрим второй случай:

• cos 4x < -√3/2 происходит при 4x ∈ (5π/6 + 2kπ, 7π/6 + 2kπ).
• Решим для x: x ∈ (5π/24 + kπ/2, 7π/24 + kπ/2).

Таким образом, общее решение для неравенства 2cos² 4x > 1,5 будет объединением всех найденных промежутков:

• x ∈ (-π/24 + kπ/2, π/24 + kπ/2) ∪ (11π/24 + kπ/2, 13π/24 + kπ/2) ∪ (5π/24 + kπ/2, 7π/24 + kπ/2),где k - любое целое число.

Надеюсь, это поможет вам понять, как решать данные неравенства!