Для решения неравенства tg^2 x - 1 < 0, давайте сначала преобразуем его. Мы можем переписать неравенство в следующем виде:

tg^2 x < 1

Теперь мы знаем, что tg^2 x - это квадрат тангенса, который всегда неотрицателен. Это значит, что неравенство tg^2 x < 1 будет истинным, когда тангенс x находится в определённых пределах. Давайте разберем, что это значит.

1. Извлечем квадратный корень из обеих сторон неравенства:

|tg x| < 1

Это значит, что tg x должен находиться в интервале от -1 до 1:

-1 < tg x < 1

2. Теперь нам нужно найти, при каких значениях x тангенс попадает в этот интервал. Вспомним, что тангенс является периодической функцией с периодом π. Также мы знаем, что тангенс принимает значения -1 и 1 в следующих точках:

• tg x = -1 при x = -π/4 + kπ, где k - целое число;
• tg x = 1 при x = π/4 + kπ, где k - целое число.

3. Теперь определим, в каких интервалах тангенс находится между этими значениями. Это происходит в следующих интервалах:

• (-π/4 + kπ, π/4 + kπ)

4. Таким образом, общее решение неравенства tg^2 x - 1 < 0 можно записать как:

x ∈ (-π/4 + kπ, π/4 + kπ), где k - целое число.

5. Если требуется указать конкретные значения для определенного промежутка, например, для k = 0, то:

• x ∈ (-π/4, π/4)

Таким образом, мы нашли решение неравенства. Если у вас есть дополнительные вопросы по этому материалу, не стесняйтесь спрашивать!