Как можно решить уравнение 0,1 lg^4x - lg^2x + 0,9 = 0?

Математика 11 класс Уравнения с логарифмами решение уравнения уравнение 0,1 lg^4x lg^2x математика 11 класс Логарифмическое уравнение математические методы алгебра подготовка к экзамену Новый

Давайте решим уравнение 0,1 lg^4x - lg^2x + 0,9 = 0 шаг за шагом. Для начала, заметим, что это уравнение можно упростить, введя новую переменную.

Шаг 1: Ввод новой переменной

Обозначим y = lg^2x. Тогда lg^4x можно выразить как (lg^2x)^2 = y^2. Подставим это в уравнение:

0,1y^2 - y + 0,9 = 0.

Шаг 2: Решение квадратного уравнения

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу для решения квадратных уравнений:

y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a,

где a = 0,1, b = -1, c = 0,9.

Подставим значения a, b и c в формулу:

• b^2 = (-1)^2 = 1,
• 4ac = 4 * 0,1 * 0,9 = 0,36.

Теперь вычислим дискриминант:

D = b^2 - 4ac = 1 - 0,36 = 0,64.

Так как D > 0, у нас есть два различных корня:

y1 = (1 + √0,64) / (2 * 0,1) = (1 + 0,8) / 0,2 = 9,

y2 = (1 - √0,64) / (2 * 0,1) = (1 - 0,8) / 0,2 = 1.

Шаг 3: Возвращаемся к переменной x

Теперь мы нашли два значения для y:

• y1 = 9,
• y2 = 1.

Теперь вернемся к нашей замене y = lg^2x:

• lg^2x = 9, тогда lgx = ±3. Поскольку логарифм не может быть отрицательным, мы берем lgx = 3. Значит, x = 10^3 = 1000.
• lg^2x = 1, тогда lgx = ±1. Аналогично, берем lgx = 1. Значит, x = 10^1 = 10.

Шаг 4: Записываем окончательный ответ

Таким образом, у нас есть два решения уравнения:

• x = 1000,
• x = 10.

Ответ: x = 10 и x = 1000.