Как решить уравнение log²2x - 4log2x + 3 = 0?

Математика 11 класс Уравнения с логарифмами уравнение логарифмы решение математика log²2x log2x алгебра математические уравнения квадратное уравнение методы решения Новый

Чтобы решить уравнение log²2x - 4log2x + 3 = 0, начнем с того, что введем замену переменной. Пусть y = log2x. Тогда уравнение можно переписать в следующем виде:

y² - 4y + 3 = 0

Теперь это квадратное уравнение, которое мы можем решить с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

y = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

В нашем случае a = 1, b = -4, c = 3. Подставим эти значения в формулу:

1. Вычислим дискриминант: D = b² - 4ac = (-4)² - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4.
2. Теперь найдем корни уравнения:
• y1 = (4 + √4) / 2 = (4 + 2) / 2 = 6 / 2 = 3,
• y2 = (4 - √4) / 2 = (4 - 2) / 2 = 2 / 2 = 1.

Таким образом, у нас есть два корня: y1 = 3 и y2 = 1.

Теперь вернемся к замене переменной. Мы знаем, что y = log2x, поэтому:

1. Для y1 = 3:
   • log2x = 3
   • Переписываем это в экспоненциальной форме: x = 2³ = 8.
2. Для y2 = 1:
   • log2x = 1
   • Переписываем это в экспоненциальной форме: x = 2¹ = 2.

Таким образом, у нас есть два решения уравнения:

x = 8 и x = 2.

Ответ: x = 2 и x = 8.