Как можно решить уравнение 3lg^2x - 5lgx + 2 = 0?

Математика 11 класс Уравнения с логарифмами решение уравнения уравнение 3lg^2x Логарифмическое уравнение математика 11 класс методы решения уравнений Новый

Для решения уравнения 3lg^2x - 5lgx + 2 = 0, мы можем использовать замену переменной, чтобы упростить уравнение. Давайте обозначим:

• y = lgx

Тогда уравнение примет вид:

• 3y^2 - 5y + 2 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем решить его с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

• x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

В нашем случае:

• a = 3
• b = -5
• c = 2

Сначала найдем дискриминант:

• D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 * 3 * 2
• D = 25 - 24 = 1

Так как дискриминант положительный, у нас есть два различных корня. Теперь подставим значения в формулу:

• y1 = (5 + √1) / (2 * 3) = (5 + 1) / 6 = 6 / 6 = 1
• y2 = (5 - √1) / (2 * 3) = (5 - 1) / 6 = 4 / 6 = 2/3

Теперь у нас есть два значения для y:

• y1 = 1
• y2 = 2/3

Теперь вернемся к нашей замене y = lgx:

• lgx1 = 1 → x1 = 10^1 = 10
• lgx2 = 2/3 → x2 = 10^(2/3) = √(10^2) = √100 = 10^(2/3) = 10^(0.666...) ≈ 4.64

Таким образом, мы нашли два решения для уравнения:

• x1 = 10
• x2 ≈ 4.64

Ответ: x = 10 и x ≈ 4.64.