Как можно решить уравнение 3√(x²-3) + 5√(x²-3) = 4?

Математика 11 класс Уравнения с корнями решение уравнения уравнение с корнями математические задачи алгебра 11 класс корень из выражения Новый

Для решения уравнения 3√(x²-3) + 5√(x²-3) = 4, давайте начнем с упрощения выражения.

1. Объединим подобные члены. Мы видим, что обе части уравнения содержат √(x²-3). Это позволяет нам вынести общий множитель:

• 3√(x²-3) + 5√(x²-3) = (3 + 5)√(x²-3) = 8√(x²-3).

2. Теперь уравнение можно записать в более простой форме:

8√(x²-3) = 4.

3. Разделим обе стороны уравнения на 8:

√(x²-3) = 4/8 = 1/2.

4. Теперь избавимся от квадратного корня. Для этого возведем обе стороны уравнения в квадрат:

• (√(x²-3))² = (1/2)².
• Это дает нам x² - 3 = 1/4.

5. Далее, добавим 3 к обеим сторонам уравнения:

• x² = 1/4 + 3.
• Приведем 3 к общему знаменателю: 3 = 12/4.
• Тогда x² = 1/4 + 12/4 = 13/4.

6. Теперь извлечем квадратный корень из обеих сторон:

• x = ±√(13/4).
• Это можно записать как x = ±√13 / 2.

7. В итоге, мы получили два возможных решения:

• x = √13 / 2,
• x = -√13 / 2.

8. Теперь необходимо проверить, являются ли найденные значения действительными решениями исходного уравнения. Подставим каждое из них обратно в уравнение:

• Для x = √13 / 2: √(x² - 3) = √(13/4 - 3) = √(13/4 - 12/4) = √(1/4) = 1/2.
• Для x = -√13 / 2: √(x² - 3) также даст 1/2.

Обе проверки подтверждают, что найденные решения верны.

Ответ: x = √13 / 2 и x = -√13 / 2.