Как решить уравнение √(2x+5)+√(x-1)=2, учитывая правило определения области допустимых значений (ОДЗ)?

Математика 11 класс Уравнения с корнями решение уравнения область допустимых значений математика 11 класс квадратные корни уравнения с корнями Новый

Для решения уравнения √(2x+5) + √(x-1) = 2, сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения.

Шаг 1: Определение области допустимых значений (ОДЗ)

• Первый корень: √(2x+5) определен, когда 2x + 5 ≥ 0. Это означает:
1. 2x ≥ -5
2. x ≥ -2.5
• Второй корень: √(x-1) определен, когда x - 1 ≥ 0. Это означает:
1. x ≥ 1

Таким образом, ОДЗ будет определяться по более строгому условию: x ≥ 1.

Шаг 2: Преобразование уравнения

Теперь, когда мы знаем ОДЗ, можем решить уравнение. Перепишем его:

√(2x+5) = 2 - √(x-1).

Шаг 3: Избавление от корней

Чтобы избавиться от корней, возведем обе стороны уравнения в квадрат:

(√(2x+5))^2 = (2 - √(x-1))^2.

Это дает:

2x + 5 = 4 - 4√(x-1) + (x - 1).

Упростим правую часть:

2x + 5 = 4 + x - 1 - 4√(x-1),

2x + 5 = x + 3 - 4√(x-1).

Шаг 4: Перенос всех членов на одну сторону

Переносим x и 3 на левую сторону:

2x - x + 5 - 3 = -4√(x-1),

x + 2 = -4√(x-1).

Шаг 5: Избавление от корня снова

Теперь возведем обе стороны в квадрат снова:

(x + 2)^2 = (-4√(x-1))^2.

Это дает:

x^2 + 4x + 4 = 16(x - 1).

Упрощаем правую часть:

x^2 + 4x + 4 = 16x - 16.

Шаг 6: Приведение уравнения к стандартному виду

Переносим все на одну сторону:

x^2 + 4x + 4 - 16x + 16 = 0.

Упрощаем:

x^2 - 12x + 20 = 0.

Шаг 7: Решение квадратного уравнения

Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4*1*20 = 144 - 80 = 64.

Так как D > 0, у уравнения два различных корня:

x1 = (12 + √64) / 2 = (12 + 8) / 2 = 10,

x2 = (12 - √64) / 2 = (12 - 8) / 2 = 2.

Шаг 8: Проверка корней на соответствие ОДЗ

Теперь проверим, соответствуют ли найденные корни области допустимых значений (x ≥ 1):

• x1 = 10 (принадлежит ОДЗ)
• x2 = 2 (принадлежит ОДЗ)

Шаг 9: Проверка корней в исходном уравнении

Подставим найденные корни обратно в исходное уравнение, чтобы убедиться, что они его удовлетворяют:

• Для x = 10: √(2*10 + 5) + √(10 - 1) = √(25) + √(9) = 5 + 3 = 8 (не подходит)
• Для x = 2: √(2*2 + 5) + √(2 - 1) = √(9) + √(1) = 3 + 1 = 4 (не подходит)

Таким образом, оба корня не подходят. Следовательно, у данного уравнения нет решений.