Как решить уравнение: √(3x+7) - √(x+1) = 2, принимая во внимание правило определения области допустимых значений (ОДЗ)?

Математика 11 класс Уравнения с корнями решение уравнения ОДЗ математика 11 класс квадратные корни алгебра уравнения с корнями Новый

Чтобы решить уравнение √(3x + 7) - √(x + 1) = 2, начнем с определения области допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения.

Шаг 1: Определение ОДЗ

• Сначала рассмотрим подкоренные выражения. Для того чтобы корень был определен, подкоренные выражения должны быть неотрицательными.
• Для √(3x + 7) это означает: 3x + 7 ≥ 0. Решим это неравенство:
• 3x ≥ -7
• x ≥ -7/3.
• Теперь рассмотрим √(x + 1):
• x + 1 ≥ 0.
• x ≥ -1.
• Теперь нам нужно найти пересечение этих двух условий:
• x ≥ -7/3 и x ≥ -1.
• Наименьшее значение -1, значит, ОДЗ: x ≥ -1.

Шаг 2: Решение уравнения

Теперь, когда мы знаем область допустимых значений, можем продолжить решение уравнения.

Перепишем уравнение:

√(3x + 7) = √(x + 1) + 2.

Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

(√(3x + 7))^2 = (√(x + 1) + 2)^2.

Это дает:

3x + 7 = (√(x + 1))^2 + 4√(x + 1) + 4.

Упростим правую часть:

3x + 7 = x + 1 + 4√(x + 1) + 4.

3x + 7 = x + 5 + 4√(x + 1).

Теперь перенесем все, что не содержит корень, в одну сторону:

3x + 7 - x - 5 = 4√(x + 1).

2x + 2 = 4√(x + 1).

Разделим обе стороны на 2:

x + 1 = 2√(x + 1).

Теперь снова возведем обе стороны в квадрат:

(x + 1)^2 = (2√(x + 1))^2.

Это дает:

x^2 + 2x + 1 = 4(x + 1).

Раскроем скобки:

x^2 + 2x + 1 = 4x + 4.

Переносим все в одну сторону:

x^2 + 2x + 1 - 4x - 4 = 0.

x^2 - 2x - 3 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -2, c = -3.

Находим дискриминант:

D = (-2)^2 - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16.

Теперь подставим в формулу:

x = (2 ± √16) / 2 = (2 ± 4) / 2.

Это дает два решения:

• x1 = (2 + 4) / 2 = 6 / 2 = 3,
• x2 = (2 - 4) / 2 = -2 / 2 = -1.

Шаг 3: Проверка решений на соответствие ОДЗ

• Первое решение x = 3: 3 ≥ -1 (принадлежит ОДЗ).
• Второе решение x = -1: -1 ≥ -1 (принадлежит ОДЗ).

Шаг 4: Проверка решений в исходном уравнении

• Для x = 3: √(3*3 + 7) - √(3 + 1) = √(9 + 7) - √(4) = √16 - 2 = 4 - 2 = 2 (верно).
• Для x = -1: √(3*(-1) + 7) - √(-1 + 1) = √(4) - √(0) = 2 - 0 = 2 (верно).

Ответ: Решения уравнения: x = 3 и x = -1.