Как можно решить уравнение 4 sin² x + 11 sin x - 3 = 0?

Математика 11 класс Уравнения с тригонометрическими функциями уравнение решение уравнения Тригонометрия sin x математические методы Новый

Для решения уравнения 4 sin² x + 11 sin x - 3 = 0 мы можем использовать замену переменной. Давайте обозначим sin x как y. Таким образом, уравнение преобразуется в:

4y² + 11y - 3 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение, которое можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения:

y = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

В нашем случае:

• a = 4
• b = 11
• c = -3

Теперь подставим значения a, b и c в формулу:

1. Сначала вычислим дискриминант (D):
2. D = b² - 4ac = 11² - 4 * 4 * (-3) = 121 + 48 = 169
3. Теперь, так как D > 0, у нас есть два различных корня:

Подставляем D в формулу:

1. y₁ = (-11 + √169) / (2 * 4) = (-11 + 13) / 8 = 2 / 8 = 1/4
2. y₂ = (-11 - √169) / (2 * 4) = (-11 - 13) / 8 = -24 / 8 = -3

Теперь у нас есть два значения для y:

• y₁ = 1/4
• y₂ = -3

Теперь вернемся к замене переменной. Мы знаем, что y = sin x, поэтому:

1. Для y₁ = 1/4:

sin x = 1/4

Теперь найдем x. У нас есть:

x = arcsin(1/4)

Это значение будет в пределах от -π/2 до π/2. Но также мы должны учесть, что синус положителен в первом и втором квадрантах:

• x₁ = arcsin(1/4
• x₂ = π - arcsin(1/4)

2. Для y₂ = -3:

sin x = -3

Это значение не имеет решения, так как синус может принимать значения только в диапазоне от -1 до 1.

Таким образом, окончательные решения для уравнения 4 sin² x + 11 sin x - 3 = 0 будут:

• x₁ = arcsin(1/4)
• x₂ = π - arcsin(1/4)

Не забудьте учесть периодичность функции синуса, если нужно найти все решения. Синус имеет период 2π, поэтому общее решение будет:

• x = arcsin(1/4) + 2kπ
• x = π - arcsin(1/4) + 2kπ

где k – любое целое число.