Как можно решить уравнение 4 sin² x + 11 sin x - 3 = 0?
Математика 11 класс Уравнения с тригонометрическими функциями уравнение решение уравнения Тригонометрия sin x математические методы Новый
Для решения уравнения 4 sin² x + 11 sin x - 3 = 0 мы можем использовать замену переменной. Давайте обозначим sin x как y. Таким образом, уравнение преобразуется в:
4y² + 11y - 3 = 0
Теперь мы имеем квадратное уравнение, которое можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения:
y = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
В нашем случае:
Теперь подставим значения a, b и c в формулу:
Подставляем D в формулу:
Теперь у нас есть два значения для y:
Теперь вернемся к замене переменной. Мы знаем, что y = sin x, поэтому:
1. Для y₁ = 1/4:
sin x = 1/4
Теперь найдем x. У нас есть:
x = arcsin(1/4)
Это значение будет в пределах от -π/2 до π/2. Но также мы должны учесть, что синус положителен в первом и втором квадрантах:
2. Для y₂ = -3:
sin x = -3
Это значение не имеет решения, так как синус может принимать значения только в диапазоне от -1 до 1.
Таким образом, окончательные решения для уравнения 4 sin² x + 11 sin x - 3 = 0 будут:
Не забудьте учесть периодичность функции синуса, если нужно найти все решения. Синус имеет период 2π, поэтому общее решение будет:
где k – любое целое число.