Как решить уравнение 16^Sinx + 4*16^sin(x-pi) = 65/4? Помогите, пожалуйста!

Математика 11 класс Уравнения с тригонометрическими функциями уравнение 16^Sinx решить уравнение математика sinx тригонометрические уравнения помощь в математике Новый

Чтобы решить уравнение 16^Sinx + 4*16^sin(x-pi) = 65/4, начнем с упрощения его.

Во-первых, заметим, что 16 можно представить как 4^2, а значит 16^Sinx можно записать как (4^2)^Sinx = 4^(2Sinx). Таким образом, уравнение можно переписать в следующем виде:

4^(2Sinx) + 4 * 4^(2Sin(x - pi)) = 65/4

Теперь у нас есть sin(x - pi). Мы знаем, что sin(x - pi) = -sin(x), поэтому подставим это в уравнение:

4^(2Sinx) + 4 * 4^(2(-Sinx)) = 65/4

Теперь упростим вторую часть уравнения:

4^(2(-Sinx)) = 4^(-2Sinx) = 1 / 4^(2Sinx)

Подставим это обратно в уравнение:

4^(2Sinx) + 4 * (1 / 4^(2Sinx)) = 65/4

Теперь обозначим y = 4^(2Sinx). Тогда уравнение станет:

y + 4/y = 65/4

Умножим обе стороны на 4y, чтобы избавиться от дроби:

4y^2 + 16 = 65y

Переносим все в одну сторону:

4y^2 - 65y + 16 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем решить его с помощью дискриминанта:

Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-65)^2 - 4 * 4 * 16 = 4225 - 256 = 3969.

Теперь находим корни уравнения:

y = (65 ± √3969) / (2 * 4)

Корень из 3969 равен 63, тогда:

y1 = (65 + 63) / 8 = 128 / 8 = 16

y2 = (65 - 63) / 8 = 2 / 8 = 1/4

Теперь вспомним, что y = 4^(2Sinx). Подставим найденные значения:

• 4^(2Sinx) = 16
• 4^(2Sinx) = 1/4

Решим первое уравнение:

2Sinx = 2 (поскольку 4^2 = 16) => Sinx = 1 => x = π/2 + 2kπ, где k - целое число.

Теперь решим второе уравнение:

2Sinx = -2 (поскольку 4^(-1) = 1/4) => Sinx = -1 => x = 3π/2 + 2kπ, где k - целое число.

Таким образом, финальные решения уравнения:

• x = π/2 + 2kπ
• x = 3π/2 + 2kπ

Где k - любое целое число.