Как решить уравнение cos x + 2 cos 2x = 1, используя дискриминант?

Математика 11 класс Уравнения с тригонометрическими функциями уравнение cos x 2 cos 2x решение уравнения дискриминант математика 11 класс Новый

Чтобы решить уравнение cos x + 2 cos 2x = 1, сначала преобразуем его, используя тригонометрические идентичности.

Шаг 1: Преобразуем cos 2x.

Мы знаем, что cos 2x можно выразить через cos x следующим образом:

• cos 2x = 2 cos² x - 1.

Подставим это в наше уравнение:

cos x + 2(2 cos² x - 1) = 1.

Шаг 2: Упростим уравнение.

Раскроем скобки:

cos x + 4 cos² x - 2 = 1.

Теперь перенесем все в одну сторону:

4 cos² x + cos x - 3 = 0.

Шаг 3: Обозначим переменную.

Для удобства обозначим cos x как y. Тогда уравнение примет вид:

4y² + y - 3 = 0.

Шаг 4: Найдем дискриминант.

Дискриминант D для квадратного уравнения ax² + bx + c рассчитывается по формуле:

D = b² - 4ac.

В нашем случае a = 4, b = 1, c = -3. Подставим эти значения:

D = 1² - 4 * 4 * (-3) = 1 + 48 = 49.

Шаг 5: Найдем корни уравнения.

Так как дискриминант положителен, у нас есть два различных корня:

y₁ = (-b + √D) / (2a) и y₂ = (-b - √D) / (2a).

Подставим значения:

• y₁ = (-1 + √49) / (2 * 4) = (-1 + 7) / 8 = 6 / 8 = 3 / 4.
• y₂ = (-1 - √49) / (2 * 4) = (-1 - 7) / 8 = -8 / 8 = -1.

Шаг 6: Найдем значения x.

Теперь мы имеем два значения для y (cos x): 3/4 и -1.

Рассмотрим первое значение:

• cos x = 3/4.
• Тогда x = arccos(3/4) + 2πk и x = -arccos(3/4) + 2πk, где k - любое целое число.

Теперь второе значение:

• cos x = -1.
• Тогда x = π + 2πk, где k - любое целое число.

Шаг 7: Запишем окончательные ответы.

Таким образом, общее решение уравнения cos x + 2 cos 2x = 1:

• x = arccos(3/4) + 2πk;
• x = -arccos(3/4) + 2πk;
• x = π + 2πk.

На этом решение завершено!