Как найти все решения уравнения sin2x=-1/2, которые принадлежат отрезку (-pi/2; pi)?

Математика 11 класс Уравнения с тригонометрическими функциями решение уравнения sin2x=-1/2 отрезок (-pi/2; pi) математические задачи тригонометрические уравнения Новый

Чтобы решить уравнение sin(2x) = -1/2, нужно следовать нескольким шагам. Давайте разберем процесс подробно.

Шаг 1: Найдем общие решения уравнения sin(θ) = -1/2

Сначала мы должны определить, для каких значений угла θ синус равен -1/2. Известно, что синус принимает значение -1/2 в следующих квадрантах:

• Третий квадрант: θ = 7π/6
• Четвертый квадрант: θ = 11π/6

Общие решения для синуса можно записать в виде:

• θ = 7π/6 + 2kπ, где k - любое целое число
• θ = 11π/6 + 2kπ, где k - любое целое число

Шаг 2: Подставим обратно в уравнение

Теперь мы знаем, что θ = 2x. Подставим это в наши решения:

• 2x = 7π/6 + 2kπ
• 2x = 11π/6 + 2kπ

Шаг 3: Найдем x

Теперь делим обе стороны каждого уравнения на 2:

• x = 7π/12 + kπ
• x = 11π/12 + kπ

Шаг 4: Найдем решения в пределах отрезка (-π/2; π)

Теперь нужно найти такие значения x, которые принадлежат отрезку (-π/2; π).

Рассмотрим первое уравнение:

• k = 0: x = 7π/12 (это примерно 1.833, что меньше π)
• k = -1: x = 7π/12 - π = 7π/12 - 12π/12 = -5π/12 (это примерно -1.308, что больше -π/2)
• k = 1: x = 7π/12 + π = 7π/12 + 12π/12 = 19π/12 (это больше π, не подходит)

Теперь рассмотрим второе уравнение:

• k = 0: x = 11π/12 (это примерно 2.89, что больше π, не подходит)
• k = -1: x = 11π/12 - π = 11π/12 - 12π/12 = -π/12 (это примерно -0.261, что больше -π/2)
• k = 1: x = 11π/12 + π = 11π/12 + 12π/12 = 23π/12 (это больше π, не подходит)

Шаг 5: Соберем все подходящие решения

Итак, мы нашли два решения, которые принадлежат отрезку (-π/2; π):

• x = 7π/12
• x = -π/12

Таким образом, все решения уравнения sin(2x) = -1/2 на отрезке (-π/2; π) это:

• x = 7π/12
• x = -π/12