Как можно решить уравнение 81*9^x - 78*6^x + 16*4^x = 0?

Математика 11 класс Уравнения с переменной в степени решение уравнения уравнение 81*9^x уравнение 78*6^x уравнение 16*4^x математика 11 класс алгебра экспоненциальные уравнения Новый

Для решения уравнения 81*9^x - 78*6^x + 16*4^x = 0, давайте начнем с упрощения выражений, используя известные степени.

Во-первых, заметим, что 9, 6 и 4 можно выразить через основание 3 и 2:

• 9 = 3^2, значит, 9^x = (3^2)^x = 3^(2x);
• 6 = 2*3, значит, 6^x = (2*3)^x = 2^x * 3^x;
• 4 = 2^2, значит, 4^x = (2^2)^x = 2^(2x).

Теперь подставим эти выражения в уравнение:

81*9^x = 81*3^(2x) = 3^4 * 3^(2x) = 3^(4 + 2x);

78*6^x = 78*(2^x * 3^x);

16*4^x = 16*2^(2x) = 2^4 * 2^(2x) = 2^(4 + 2x).

Теперь перепишем уравнение:

3^(4 + 2x) - 78*(2^x * 3^x) + 2^(4 + 2x) = 0.

Теперь мы можем сделать замену переменных:

• Обозначим t = 3^x и u = 2^x.

Тогда уравнение можно записать в следующем виде:

3^(4)*t^2 - 78*(u*t) + 2^(4)*u^2 = 0.

Подставим значения:

81*t^2 - 78*u*t + 16*u^2 = 0.

Это квадратное уравнение относительно t. Теперь мы можем использовать формулу для решения квадратного уравнения:

t = [78*u ± sqrt((78*u)^2 - 4*81*16*u^2)] / (2*81).

Теперь давайте найдем дискриминант:

D = (78*u)^2 - 4*81*16*u^2 = 6084u^2 - 5184u^2 = 900u^2.

Теперь подставим дискриминант в формулу:

t = [78*u ± 30u] / 162.

Решения для t:

• t1 = (78u + 30u) / 162 = 108u / 162 = 2/3 * u;
• t2 = (78u - 30u) / 162 = 48u / 162 = 8/27 * u.

Теперь вернемся к переменным:

• Для t1: 3^x = (2/3) * 2^x;
• Для t2: 3^x = (8/27) * 2^x.

Решая каждое из этих уравнений, мы можем выразить x:

• x = log(2/3) / log(3/2);
• или x = log(8/27) / log(3/2).

Таким образом, у нас есть два решения для x. Вычислив их, мы получим окончательные значения.