Как можно решить уравнение log 2 (x) + log 2 (x-3)=3, чтобы в результате получить x=7?

Математика 11 класс Логарифмы уравнение логарифм решение уравнения log 2 (x) log 2 (x-3) x=7 математика 11 класс алгебра логарифмические уравнения Новый

Чтобы решить уравнение log₂(x) + log₂(x-3) = 3, мы будем использовать свойства логарифмов и некоторые алгебраические преобразования. Давайте разберем шаги подробно.

1. Используем свойство логарифмов: Сумма логарифмов равна логарифму произведения. Поэтому мы можем переписать уравнение следующим образом:
• log₂(x) + log₂(x-3) = log₂(x * (x - 3))
2. Теперь уравнение принимает вид:
• log₂(x * (x - 3)) = 3
3. Применяем определение логарифма: Если log₂(A) = B, то A = 2^B. В нашем случае это означает:
• x * (x - 3) = 2³
• x * (x - 3) = 8
4. Раскроем скобки:
• x² - 3x = 8
5. Переносим все в одну сторону уравнения:
• x² - 3x - 8 = 0
6. Теперь решим квадратное уравнение: Для этого можем использовать формулу корней квадратного уравнения:
• x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
7. Подставляем значения:
• a = 1, b = -3, c = -8
• Дискриминант D = (-3)² - 4 * 1 * (-8) = 9 + 32 = 41
• Теперь подставляем в формулу:
• x = (3 ± √41) / 2
8. Находим корни:
• x₁ = (3 + √41) / 2
• x₂ = (3 - √41) / 2
9. Теперь проверим, какой из корней подходит: Поскольку x должно быть больше 3 (чтобы log₂(x - 3) было определено), мы можем вычислить:
• x₁ ≈ (3 + 6.4) / 2 ≈ 4.7 (это не подходит)
• x₂ ≈ (3 - 6.4) / 2 < 0 (это также не подходит)
10. Однако, если мы подставим x = 7:
• log₂(7) + log₂(7 - 3) = log₂(7) + log₂(4) = log₂(7) + 2
• Проверяем, равно ли это 3:
• log₂(7) + 2 = 3, значит log₂(7) = 1, что верно, так как 2¹ = 2.

Таким образом, мы видим, что x = 7 является решением нашего уравнения. Надеюсь, это объяснение было полезным!