Как можно решить уравнение: log12(x + 3) + log12(x + 2) = 1?

Математика 11 класс Логарифмические уравнения решение уравнения логарифмы математика 11 класс логарифмические уравнения свойства логарифмов Новый

Чтобы решить уравнение log12(x + 3) + log12(x + 2) = 1, следуем следующим шагам:

1. Используем свойство логарифмов: Сумма логарифмов с одинаковым основанием может быть преобразована в произведение. В нашем случае это означает:
• log12((x + 3)(x + 2)) = 1
2. Переписываем уравнение в экспоненциальной форме: Поскольку логарифм равен 1, это означает, что аргумент логарифма равен основанию в степени 1:
• (x + 3)(x + 2) = 12
3. Раскрываем скобки: Умножим (x + 3) на (x + 2):
• x² + 2x + 3x + 6 = 12
• x² + 5x + 6 = 12
4. Переносим все в одну сторону уравнения:
• x² + 5x + 6 - 12 = 0
• x² + 5x - 6 = 0
5. Решаем квадратное уравнение: Мы можем воспользоваться формулой для нахождения корней квадратного уравнения:
• x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = 5, c = -6.
6. Находим дискриминант:
• D = b² - 4ac = 5² - 4 * 1 * (-6) = 25 + 24 = 49.
7. Находим корни:
• x1 = (-5 + √49) / 2 = (-5 + 7) / 2 = 2 / 2 = 1.
• x2 = (-5 - √49) / 2 = (-5 - 7) / 2 = -12 / 2 = -6.
8. Проверяем допустимость корней: Поскольку в логарифме аргумент должен быть положительным, проверим оба корня:
• Для x = 1: (1 + 3) > 0 и (1 + 2) > 0, значит, этот корень допустим.
• Для x = -6: (-6 + 3) < 0 и (-6 + 2) < 0, значит, этот корень недопустим.
9. Вывод: Единственный допустимый корень уравнения - это x = 1.

Таким образом, решением уравнения log12(x + 3) + log12(x + 2) = 1 является x = 1.