Как можно решить уравнение с модулем |x+5| + |x+4| + |x+3| + |x+2| + |x+1| = 10x?

Математика 11 класс Уравнения с модулями уравнение с модулем решение уравнения математика 11 класс модульные уравнения algebra математические задачи уравнения с абсолютной величиной Новый

Чтобы решить уравнение с модулем |x+5| + |x+4| + |x+3| + |x+2| + |x+1| = 10x, нужно учитывать, что модуль может принимать разные значения в зависимости от того, в каком интервале находится переменная x. Поэтому мы начнем с определения точек, в которых выражения под модулем равны нулю.

Точки, в которых меняется знак выражений под модулем, это:

• x = -5
• x = -4
• x = -3
• x = -2
• x = -1

Эти точки разбивают числовую прямую на несколько интервалов. Мы рассмотрим каждый из этих интервалов по отдельности:

1. Интервал 1: x < -5
   Здесь все выражения под модулем отрицательные, и уравнение примет вид:
   -(x + 5) - (x + 4) - (x + 3) - (x + 2) - (x + 1) = 10x.
   Упрощаем:
   -5x - 15 = 10x => -15 = 15x => x = -1.
   Но x = -1 не принадлежит этому интервалу, значит, решений нет.
2. Интервал 2: -5 ≤ x < -4
   Здесь |x + 5| = x + 5, остальные выражения остаются отрицательными:
   (x + 5) - (x + 4) - (x + 3) - (x + 2) - (x + 1) = 10x.
   Упрощаем:
   -4x - 5 = 10x => -5 = 14x => x = -5/14.
   x = -5/14 не принадлежит этому интервалу, значит, решений нет.
3. Интервал 3: -4 ≤ x < -3
   Здесь |x + 5| = x + 5, |x + 4| = x + 4, остальные выражения остаются отрицательными:
   (x + 5) + (x + 4) - (x + 3) - (x + 2) - (x + 1) = 10x.
   Упрощаем:
   -3x - 2 = 10x => -2 = 13x => x = -2/13.
   x = -2/13 не принадлежит этому интервалу, значит, решений нет.
4. Интервал 4: -3 ≤ x < -2
   Здесь |x + 5| = x + 5, |x + 4| = x + 4, |x + 3| = x + 3, остальные выражения остаются отрицательными:
   (x + 5) + (x + 4) + (x + 3) - (x + 2) - (x + 1) = 10x.
   Упрощаем:
   -2x + 5 = 10x => 5 = 12x => x = 5/12.
   x = 5/12 не принадлежит этому интервалу, значит, решений нет.
5. Интервал 5: -2 ≤ x < -1
   Здесь |x + 5| = x + 5, |x + 4| = x + 4, |x + 3| = x + 3, |x + 2| = x + 2, |x + 1| = -(x + 1):
   (x + 5) + (x + 4) + (x + 3) + (x + 2) - (x + 1) = 10x.
   Упрощаем:
   4x + 13 = 10x => 13 = 6x => x = 13/6.
   x = 13/6 не принадлежит этому интервалу, значит, решений нет.
6. Интервал 6: -1 ≤ x
   Здесь все выражения под модулем положительные:
   (x + 5) + (x + 4) + (x + 3) + (x + 2) + (x + 1) = 10x.
   Упрощаем:
   5x + 15 = 10x => 15 = 5x => x = 3.
   x = 3 принадлежит этому интервалу, значит, это решение.

Таким образом, единственное решение уравнения |x+5| + |x+4| + |x+3| + |x+2| + |x+1| = 10x — это x = 3.