Как можно решить уравнение √(x-2)²=x?

Математика 11 класс Уравнения с корнями решение уравнения уравнение с корнем математика 11 класс квадратный корень алгебраические уравнения Новый

Давайте решим уравнение √(x-2)² = x шаг за шагом.

Первым делом, заметим, что √(x-2)² можно упростить. Поскольку квадратный корень и квадрат взаимно уничтожают друг друга, мы можем записать:

√(x-2)² = |x-2|

Теперь у нас есть уравнение:

|x-2| = x

Далее, мы должны рассмотреть два случая, поскольку абсолютная величина может принимать два значения в зависимости от того, больше или меньше выражение внутри нее нуля.

1. Случай 1: x - 2 ≥ 0 (то есть x ≥ 2)

В этом случае |x-2| = x - 2. Подставим это в уравнение:

x - 2 = x

Теперь уберем x с обеих сторон:

-2 = 0

Это уравнение не имеет решений, так как -2 не равно 0.

2. Случай 2: x - 2 < 0 (то есть x < 2)

В этом случае |x-2| = -(x - 2) = 2 - x. Подставим это в уравнение:

2 - x = x

Теперь сложим x с обеих сторон:

2 = 2x

Разделим обе стороны на 2:

x = 1

Теперь нам нужно проверить, подходит ли найденное значение x = 1 под условие второго случая (x < 2). Так как 1 < 2, это значение подходит.

Теперь проверим, является ли оно решением исходного уравнения:

Подставим x = 1 в исходное уравнение:

√(1-2)² = 1

√(-1)² = 1

√1 = 1, что верно.

Таким образом, единственным решением уравнения √(x-2)² = x является:

x = 1