Как можно с помощью диаграммы Эйлера-Венна доказать, что AU(B\C)=(A∩B)\C?

Математика 11 класс Множества и операции над ними диаграмма Эйлера-Венна доказательство множества AU(B\C) A∩B математические доказательства Новый

Чтобы доказать равенство множеств AU(B\C) = (A∩B)\C с помощью диаграммы Эйлера-Венна, давайте разберем каждую часть этого равенства и визуализируем их с помощью диаграммы.

Начнем с определения используемых множеств:

• A — первое множество
• B — второе множество
• C — третье множество
• B\C — множество элементов, которые принадлежат B, но не принадлежат C
• A∩B — множество элементов, которые принадлежат и A, и B

Теперь поэтапно рассмотрим каждую часть равенства:

1. Определим множество B\C: Это множество включает в себя все элементы, которые находятся в B, но отсутствуют в C. На диаграмме это будет область, которая находится в круге B, но вне круга C.
2. Теперь найдем AU(B\C): Это объединение множества A и множества B\C. На диаграмме мы закрашиваем область, которая соответствует множеству A, а также ту область в круге B, которая не пересекается с кругом C. Таким образом, мы получаем все элементы из A и все элементы из B, которые не входят в C.
3. Теперь определим множество (A∩B)\C: Сначала находим A∩B — это пересечение множеств A и B, то есть все элементы, которые принадлежат обоим множествам. На диаграмме это будет область, где круги A и B пересекаются. Затем мы исключаем из этого множество элементы, которые находятся в C. Таким образом, мы закрашиваем только ту часть пересечения A и B, которая не входит в C.

Теперь, когда мы проанализировали обе части равенства, давайте сравним их на диаграмме Эйлера-Венна:

На диаграмме видно, что область, соответствующая AU(B\C), и область, соответствующая (A∩B)\C, совпадают. Это означает, что оба множества содержат одни и те же элементы. Таким образом, мы можем сделать вывод о том, что:

AU(B\C) = (A∩B)\C

Таким образом, мы доказали равенство множеств с помощью диаграммы Эйлера-Венна.