Как можно с помощью понятия дифференциала вычислить значение под корнем 1,007?

Математика 11 класс Дифференциальное исчисление дифференциал значение под корнем вычисление корня математика 11 класс методы дифференцирования Новый

Чтобы вычислить значение под корнем 1,007 с помощью понятия дифференциала, мы можем воспользоваться аппроксимацией. Для этого нам нужно выбрать значение, которое нам известно и которое близко к 1,007. В данном случае мы можем взять 1,004, так как это значение легко вычисляется.

Шаги решения следующие:

1. Определим функцию: Пусть f(x) = √x. Мы хотим найти значение f(1,007).
2. Выберем ближайшее известное значение: Возьмем x = 1,004, так как √1,004 мы можем считать приблизительно равным 1,002.
3. Вычислим производную: Найдем производную функции f(x). Производная f'(x) = 1/(2√x). Подставим x = 1,004:
• f'(1,004) = 1/(2√1,004) ≈ 1/(2 * 1,002) ≈ 0,499.
4. Вычислим разницу: Теперь найдем разницу между 1,007 и 1,004:
• Δx = 1,007 - 1,004 = 0,003.
5. Используем дифференциал: Теперь применяем формулу для дифференциала:
• f(1,007) ≈ f(1,004) + f'(1,004) * Δx.
• f(1,004) ≈ 1,002.
• Теперь подставим значения: f(1,007) ≈ 1,002 + 0,499 * 0,003.
6. Вычислим: 0,499 * 0,003 = 0,001497.
7. Сложим: 1,002 + 0,001497 ≈ 1,003497.

Таким образом, мы получаем, что √1,007 ≈ 1,003497. Это значение является приближенным, но достаточно точным для большинства практических применений.