Чтобы упростить данное выражение, начнем с его анализа. Мы имеем следующее выражение:

2 cos^2(4x) + tg(x) * ctg(x) + 2 sin^2(4x)

Теперь рассмотрим каждую часть выражения по отдельности.

1. Упрощение tg(x) * ctg(x):
• tg(x) (тангенс) определяется как sin(x)/cos(x).
• ctg(x) (котангенс) определяется как cos(x)/sin(x).
• Таким образом, tg(x) * ctg(x) = (sin(x)/cos(x)) * (cos(x)/sin(x)) = 1.

Теперь можем заменить tg(x) * ctg(x) на 1 в нашем выражении:

2 cos^2(4x) + 1 + 2 sin^2(4x)

1. Соберем подобные члены:
• Объединим 2 cos^2(4x) и 2 sin^2(4x).
• Используем тригонометрическую идентичность: cos^2(a) + sin^2(a) = 1.

Таким образом, мы можем записать:

2(cos^2(4x) + sin^2(4x)) + 1 = 2 * 1 + 1 = 2 + 1 = 3.

Итак, окончательно, упрощенное выражение:

3.

Таким образом, мы пришли к результату, что данное выражение упрощается до 3.