Как можно упростить выражение (1 - log4 20)(1 - log5 20)?

Математика 11 класс Логарифмы Упрощение выражения математика 11 класс логарифмы задачи по логарифмам выражения с логарифмами решение логарифмических задач Новый

Чтобы упростить выражение (1 - log4 20)(1 - log5 20), давайте разберем его по шагам.

1. Используем свойства логарифмов. Мы знаем, что логарифм можно выразить через другой логарифм с помощью изменения основания. В частности, используем формулу:

   log_a b = log_c b / log_c a

   Для удобства, давайте выразим оба логарифма через логарифм с основанием 10 (или натуральный логарифм, это не имеет значения для упрощения). Таким образом, мы можем записать:
   • log4 20 = log10 20 / log10 4
   • log5 20 = log10 20 / log10 5
2. Подставляем значения в выражение. Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

   (1 - log10 20 / log10 4)(1 - log10 20 / log10 5)

3. Упрощаем выражение. Обозначим log10 20 как x. Тогда выражение примет вид:

   (1 - x / log10 4)(1 - x / log10 5)

   Теперь можем раскрыть скобки:
   • 1 - x / log10 4 - x / log10 5 + (x^2) / (log10 4 * log10 5)
4. Объединяем подобные члены. У нас получится:

   1 - (x / log10 4 + x / log10 5) + (x^2) / (log10 4 * log10 5)

   Теперь можно выразить сумму дробей:

   x / log10 4 + x / log10 5 = x * (1 / log10 4 + 1 / log10 5)

   Итак, окончательное упрощенное выражение будет выглядеть так:

   1 - x * (1 / log10 4 + 1 / log10 5) + (x^2) / (log10 4 * log10 5)

Таким образом, мы упростили исходное выражение до более удобного вида. Если нужно подставить конкретные значения для логарифмов, можно будет вычислить численное значение.