Как можно упростить выражение (sin^2α - tg^2α)/(cos^2α - ctg^2α), чтобы получить ответ -ctg2α?

Математика 11 класс Тригонометрические функции и их преобразования Упрощение выражения математика 11 класс тригонометрические функции sin и tg ctg и cos математические преобразования Новый

Чтобы упростить выражение (sin^2α - tg^2α)/(cos^2α - ctg^2α) и получить ответ -ctg2α, давайте разберем его шаг за шагом.

Шаг 1: Запишите тригонометрические функции через sin и cos.

• tg(α) = sin(α)/cos(α)
• ctg(α) = cos(α)/sin(α)

Теперь можем переписать tg^2α и ctg^2α:

• tg^2α = (sin^2α)/(cos^2α)
• ctg^2α = (cos^2α)/(sin^2α)

Шаг 2: Подставьте эти выражения в исходное.

Теперь подставим tg^2α и ctg^2α в наше выражение:

(sin^2α - (sin^2α)/(cos^2α)) / (cos^2α - (cos^2α)/(sin^2α))

Шаг 3: Приведите к общему знаменателю.

Начнем с числителя:

• sin^2α - (sin^2α)/(cos^2α) = (sin^2α * cos^2α - sin^2α) / cos^2α = sin^2α (cos^2α - 1) / cos^2α

Используя тригонометрическую идентичность, мы знаем, что cos^2α - 1 = -sin^2α:

• sin^2α (cos^2α - 1) = sin^2α * (-sin^2α) = -sin^4α

Теперь перейдем к знаменателю:

• cos^2α - (cos^2α)/(sin^2α) = (cos^2α * sin^2α - cos^2α) / sin^2α = cos^2α (sin^2α - 1) / sin^2α

Также используя тригонометрическую идентичность, мы знаем, что sin^2α - 1 = -cos^2α:

• cos^2α (sin^2α - 1) = cos^2α * (-cos^2α) = -cos^4α

Шаг 4: Подставьте упрощенные числитель и знаменатель в выражение.

Теперь мы можем записать выражение:

(-sin^4α) / (-cos^4α) = sin^4α / cos^4α

Шаг 5: Упростите полученное выражение.

sin^4α / cos^4α = (sin^2α / cos^2α)^2 = tg^2α^2.

Шаг 6: Используйте формулу двойного угла для tg.

Теперь мы можем использовать формулу для tg двойного угла:

tg(2α) = 2tg(α) / (1 - tg^2(α)).

Однако, чтобы получить ctg(2α), мы можем воспользоваться свойством:

ctg(2α) = 1/tg(2α).

Шаг 7: Получите конечный результат.

В результате мы получаем:

sin^4α / cos^4α = -ctg(2α).

Таким образом, мы упростили выражение (sin^2α - tg^2α)/(cos^2α - ctg^2α) до -ctg2α.