Упростите выражение: ctg^2x * sin^2x - cos2x

Математика 11 класс Тригонометрические функции и их преобразования Упрощение выражения ctg^2x sin^2x cos2x тригонометрические функции математика 11 класс Новый

Давайте упростим данное выражение: ctg^2x * sin^2x - cos2x.

Для начала напомним, что ctg(x) (котангенс) можно выразить через синус и косинус:

• ctg(x) = cos(x) / sin(x)

Следовательно, ctg^2(x) будет равен:

• ctg^2(x) = (cos(x) / sin(x))^2 = cos^2(x) / sin^2(x)

Теперь подставим это в наше выражение:

• ctg^2x * sin^2x = (cos^2x / sin^2x) * sin^2x = cos^2x

Теперь мы можем переписать всё выражение:

• cos^2x - cos2x

Здесь мы видим, что у нас есть cos2x, который можно выразить через cos^2x. По формуле двойного угла:

• cos(2x) = 2cos^2(x) - 1

Теперь подставим это в наше выражение:

• cos^2x - (2cos^2x - 1)

Раскроем скобки:

• cos^2x - 2cos^2x + 1

Теперь объединим похожие слагаемые:

• -cos^2x + 1

Таким образом, окончательный результат упрощения выражения:

1 - cos^2x

Мы знаем, что 1 - cos^2x = sin^2x по тригонометрической тождеству. Поэтому:

Ответ: sin^2x