Как можно вычислить неопределённый интеграл функции (Lnx/x)*dx?

Математика 11 класс Неопределённые интегралы неопределенный интеграл вычисление интеграла функция Lnx интеграл (Lnx/x)*dx математика 11 класс Новый

Чтобы вычислить неопределённый интеграл функции (ln(x)/x) dx, мы можем использовать метод подстановки. Давайте разберем шаги по порядку:

1. Выбор подстановки: Обратим внимание на то, что в нашем интеграле присутствует логарифм ln(x). Это может подсказать нам, что мы можем использовать подстановку u = ln(x). Тогда производная этой функции будет:
• du/dx = 1/x, откуда следует, что dx = x du.
2. Выразим x через u: Поскольку u = ln(x), мы можем выразить x как e^u. Таким образом, dx = e^u du.
3. Замена переменных в интеграле: Теперь подставим u и dx в наш интеграл:
• Итак, ln(x) = u, и x = e^u.
• Тогда интеграл (ln(x)/x) dx становится:
• (u/e^u) * (e^u du) = u du.
4. Интегрирование: Теперь нам нужно вычислить интеграл u du:
• Интеграл u du равен (u^2)/2 + C, где C - произвольная константа интегрирования.
5. Возвращаемся к оригинальной переменной: Не забудем вернуть нашу подстановку обратно:
• u = ln(x), следовательно, (u^2)/2 = (ln(x))^2/2.
6. Записываем окончательный ответ: Таким образом, наш интеграл равен:
• (ln(x))^2/2 + C.

В итоге, мы получили, что неопределённый интеграл функции (ln(x)/x) dx равен (ln(x))^2/2 + C.