Как вычислить неопределённый интеграл:

∫[2,-1] x^4dx?

Математика 11 класс Неопределённые интегралы неопределенный интеграл вычисление интеграла интеграл x^4 математика математические методы интегральное исчисление Новый

Для вычисления неопределённого интеграла функции x^4 необходимо следовать определённым шагам. Неопределённый интеграл обозначает процесс нахождения антидеривативы функции, то есть функции, производная которой равна данной функции. В данном случае мы будем искать интеграл x^4.

Вот пошаговое руководство по вычислению интеграла:

1. Нахождение антидеривативы: Для функции x^n, где n - любое целое число, антидериватива вычисляется по формуле:
• ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, где C - произвольная константа интегрирования.
2. В нашем случае n = 4. Подставим это значение в формулу:
• ∫x^4 dx = (x^(4+1))/(4+1) + C = (x^5)/5 + C.
3. Запись результата: Теперь мы можем записать неопределённый интеграл:
• ∫x^4 dx = (x^5)/5 + C.

Однако, в вашем вопросе указан интеграл с пределами [2, -1]. Это обозначает определённый интеграл, который вычисляется по другой формуле:

1. Вычисление определённого интеграла: Определённый интеграл от a до b вычисляется как:
• ∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a),
• где F(x) - антидериватива функции f(x).
2. В нашем случае a = -1, b = 2, и f(x) = x^4. Мы уже нашли антидеривативу:
• F(x) = (x^5)/5.
3. Подстановка пределов: Теперь подставим пределы в антидеривативу:
• F(2) = (2^5)/5 = 32/5,
• F(-1) = ((-1)^5)/5 = -1/5.
4. Вычисление разности: Теперь вычтем F(-1) из F(2):
• ∫[-1, 2] x^4 dx = F(2) - F(-1) = (32/5) - (-1/5) = (32/5) + (1/5) = 33/5.

Таким образом, определённый интеграл ∫[2, -1] x^4 dx равен 33/5.