Чтобы вычислить неопределенный интеграл функции x^2 * 5^x dx, мы воспользуемся методом интегрирования по частям. Этот метод основан на формуле:

∫ u dv = uv - ∫ v du

Где u и dv - это части, которые мы выбираем из нашего интеграла. В нашем случае:

• Выберем u = x^2. Тогда мы можем найти производную du:
• du = 2x dx
• Теперь выберем dv = 5^x dx. Чтобы найти v, нам нужно интегрировать dv:
• v = ∫ 5^x dx = (5^x / ln(5)) + C

Теперь мы можем подставить наши u, du, v и dv в формулу интегрирования по частям:

∫ x^2 * 5^x dx = u * v - ∫ v du

Подставляем значения:

∫ x^2 * 5^x dx = x^2 * (5^x / ln(5)) - ∫ (5^x / ln(5)) * (2x dx)

Теперь у нас остался второй интеграл, который нужно вычислить:

∫ (5^x / ln(5)) * (2x dx)

Мы можем вынести постоянный множитель 2/ln(5) за знак интеграла:

= (2 / ln(5)) * ∫ x * 5^x dx

Теперь снова применим интегрирование по частям к интегралу ∫ x * 5^x dx:

• Выберем u = x, тогда du = dx.
• Выберем dv = 5^x dx, тогда v = 5^x / ln(5).

Теперь подставим в формулу интегрирования по частям:

∫ x * 5^x dx = x * (5^x / ln(5)) - ∫ (5^x / ln(5)) * dx

Второй интеграл можно вычислить просто:

∫ 5^x dx = 5^x / ln(5)

Таким образом, получаем:

∫ x * 5^x dx = x * (5^x / ln(5)) - (5^x / ln(5)^2) + C

Теперь подставим это обратно в наш предыдущий результат:

∫ x^2 * 5^x dx = x^2 * (5^x / ln(5)) - (2 / ln(5)) * (x * (5^x / ln(5)) - (5^x / ln(5)^2)) + C

Упрощаем это выражение:

• ∫ x^2 * 5^x dx = x^2 * (5^x / ln(5)) - (2x * (5^x / ln(5)^2)) + (2 * (5^x / ln(5)^3)) + C

Итак, окончательно мы получили:

∫ x^2 * 5^x dx = (5^x / ln(5)) * (x^2 - (2x / ln(5)) + (2 / ln(5)^2)) + C

Это и есть наш неопределенный интеграл функции x^2 * 5^x dx.