Как можно вычислить неопределенный интеграл функции x/Cos^2 (x)?

Математика 11 класс Неопределённые интегралы неопределенный интеграл вычисление интеграла интеграл функции математика 11 класс интеграл x/Cos^2(x) Новый

Чтобы вычислить неопределенный интеграл функции f(x) = x / cos²(x), воспользуемся методом интегрирования по частям. Этот метод позволяет разложить интеграл на более простые компоненты.

Шаги решения:

1. Выберите u и dv: Для интегрирования по частям мы выбираем:
• u = x (тогда du = dx)
• dv = sec²(x) dx (так как sec²(x) = 1/cos²(x))
2. Найдите v: Теперь интегрируем dv, чтобы найти v:
• v = tan(x) (поскольку интеграл sec²(x) dx равен tan(x))
3. Примените формулу интегрирования по частям: Формула выглядит так:
• ∫ u dv = u*v - ∫ v du
4. Подставьте найденные значения: Теперь подставим u, v и du в формулу:
• ∫ (x / cos²(x)) dx = x*tan(x) - ∫ (tan(x) * dx)
5. Вычислите второй интеграл: Интеграл от tan(x) можно выразить через логарифм:
• ∫ tan(x) dx = -ln|cos(x)| + C
6. Соберите все вместе: Теперь подставим второй интеграл обратно в уравнение:
• ∫ (x / cos²(x)) dx = x*tan(x) + ln|cos(x)| + C

Таким образом, окончательный ответ на интеграл функции x / cos²(x) будет:

∫ (x / cos²(x)) dx = x*tan(x) + ln|cos(x)| + C, где C - произвольная константа интегрирования.