Как можно вычислить неопределенный интеграл и затем проверить правильность результата с помощью дифференцирования?

1. ИНТЕГРАЛ X^2/(1+X^6)dx
2. ИНТЕГРАЛ ln(x)/x^3dx
3. ИНТЕГРАЛ e^(sin(3X))*cos(3X)dx
4. ИНТЕГРАЛ (x^2-2)/(x^2-5x+6)dx

Математика 11 класс Неопределённые интегралы неопределенный интеграл вычисление интеграла проверка результата дифференцирование математика 11 класс интегралы примеры методы интегрирования Новый

Для вычисления неопределенных интегралов, мы будем использовать различные методы интегрирования, такие как подстановка, интегрирование по частям и простые алгебраические преобразования. После нахождения интеграла мы проверим правильность результата, продифференцировав его и сравнив с исходной функцией под интегралом.

Рассмотрим каждый из интегралов по отдельности.

1. ИНТЕГРАЛ X^2/(1+X^6)dx

Для этого интеграла можно использовать подстановку:

1. Подставим u = X^3, тогда du = 3X^2dx, следовательно, dx = du/(3X^2).
2. Заменим X^2 на (u^(2/3)), а 1 + X^6 на 1 + u^2.
3. Интеграл станет: (1/3) * ∫(u^(2/3))/(1+u^2) du.
4. Теперь этот интеграл можно решить с помощью известного интеграла или таблиц.

После нахождения интеграла, проверяем, продифференцировав результат.

2. ИНТЕГРАЛ ln(x)/x^3dx

Для этого интеграла удобно использовать интегрирование по частям:

1. Выберем u = ln(x), тогда du = (1/x)dx.
2. Выберем dv = (1/x^3)dx, тогда v = -1/(2x^2).
3. Применяем формулу интегрирования по частям: ∫u dv = uv - ∫v du.
4. Подставляем и упрощаем выражение.

После нахождения интеграла, также проверяем его правильность дифференцированием.

3. ИНТЕГРАЛ e^(sin(3X))*cos(3X)dx

Для этого интеграла можно использовать подстановку:

1. Пусть u = sin(3X), тогда du = 3cos(3X)dx, следовательно, dx = du/(3cos(3X)).
2. Интеграл преобразуется в (1/3) ∫e^u du.
3. Решаем интеграл: ∫e^u du = e^u + C.
4. Возвращаемся к переменной X: e^(sin(3X))/3 + C.

Проверяем результат, продифференцировав его.

4. ИНТЕГРАЛ (x^2-2)/(x^2-5x+6)dx

Для этого интеграла сначала упростим дробь:

1. Разделим числитель на знаменатель с помощью деления многочленов.
2. Получим: 1 + (3x - 8)/(x^2 - 5x + 6).
3. Теперь интегрируем по частям: ∫1dx + ∫(3x - 8)/(x^2 - 5x + 6)dx.
4. Для второго интеграла можно использовать подстановку или разложение на простейшие дроби.

После нахождения интеграла, проверяем его правильность с помощью дифференцирования.

Таким образом, для каждого интеграла мы применили соответствующие методы, а затем проверили результаты, продифференцировав их и убедившись, что они совпадают с исходными функциями под интегралом.