Для вычисления неопределенных интегралов, мы будем использовать различные методы интегрирования, такие как подстановка, интегрирование по частям и простые алгебраические преобразования. После нахождения интеграла мы проверим правильность результата, продифференцировав его и сравнив с исходной функцией под интегралом.

Рассмотрим каждый из интегралов по отдельности.

1. ИНТЕГРАЛ X^2/(1+X^6)dx

Для этого интеграла можно использовать подстановку:

1. Подставим u = X^3, тогда du = 3X^2dx, следовательно, dx = du/(3X^2).
2. Заменим X^2 на (u^(2/3)),а 1 + X^6 на 1 + u^2.
3. Интеграл станет: (1/3) * ∫(u^(2/3))/(1+u^2) du.
4. Теперь этот интеграл можно решить с помощью известного интеграла или таблиц.

После нахождения интеграла, проверяем, продифференцировав результат.

2. ИНТЕГРАЛ ln(x)/x^3dx

Для этого интеграла удобно использовать интегрирование по частям:

1. Выберем u = ln(x),тогда du = (1/x)dx.
2. Выберем dv = (1/x^3)dx, тогда v = -1/(2x^2).
3. Применяем формулу интегрирования по частям: ∫u dv = uv - ∫v du.
4. Подставляем и упрощаем выражение.

После нахождения интеграла, также проверяем его правильность дифференцированием.

3. ИНТЕГРАЛ e^(sin(3X))*cos(3X)dx

Для этого интеграла можно использовать подстановку:

1. Пусть u = sin(3X),тогда du = 3cos(3X)dx, следовательно, dx = du/(3cos(3X)).
2. Интеграл преобразуется в (1/3) ∫e^u du.
3. Решаем интеграл: ∫e^u du = e^u + C.
4. Возвращаемся к переменной X: e^(sin(3X))/3 + C.

Проверяем результат, продифференцировав его.

4. ИНТЕГРАЛ (x^2-2)/(x^2-5x+6)dx

Для этого интеграла сначала упростим дробь:

1. Разделим числитель на знаменатель с помощью деления многочленов.
2. Получим: 1 + (3x - 8)/(x^2 - 5x + 6).
3. Теперь интегрируем по частям: ∫1dx + ∫(3x - 8)/(x^2 - 5x + 6)dx.
4. Для второго интеграла можно использовать подстановку или разложение на простейшие дроби.

После нахождения интеграла, проверяем его правильность с помощью дифференцирования.

Таким образом, для каждого интеграла мы применили соответствующие методы, а затем проверили результаты, продифференцировав их и убедившись, что они совпадают с исходными функциями под интегралом.