Как можно вычислить площадь фигуры, ограниченной следующими линиями:

1. y = 8x - x^2 - 2
2. y = x + 8

Математика 11 класс Площадь фигуры, ограниченной кривыми площадь фигуры вычисление площади математика 11 класс графики функций ограниченные линии интегралы решение задач аналитическая геометрия Новый

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной двумя линиями, нам нужно выполнить несколько шагов:

1. Найти точки пересечения линий.
2. Определить, какая функция выше на отрезке между точками пересечения.
3. Вычислить площадь между кривыми с помощью интеграла.

Теперь давайте разберем каждый шаг подробнее.

Шаг 1: Найти точки пересечения линий.

Для этого приравняем уравнения двух функций:

8x - x^2 - 2 = x + 8.

Переносим все с одной стороны:

-x^2 + 8x - x - 2 - 8 = 0.

Упрощаем уравнение:

-x^2 + 7x - 10 = 0.

Умножим на -1, чтобы упростить:

x^2 - 7x + 10 = 0.

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения. Используем дискриминант:

D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 * 1 * 10 = 49 - 40 = 9.

Корни можно найти по формуле:

x1,2 = (7 ± √D) / 2 = (7 ± 3) / 2.

Таким образом, получаем:

• x1 = (7 + 3) / 2 = 5,
• x2 = (7 - 3) / 2 = 2.

Точки пересечения находятся в x = 2 и x = 5.

Шаг 2: Определить, какая функция выше.

Теперь нужно выяснить, какая из функций больше на промежутке от 2 до 5. Подставим любое значение из этого промежутка, например, x = 3:

• y1 = 8(3) - (3)^2 - 2 = 24 - 9 - 2 = 13,
• y2 = 3 + 8 = 11.

Таким образом, y1 (8x - x^2 - 2) выше y2 (x + 8) на этом отрезке.

Шаг 3: Вычислить площадь между кривыми.

Площадь S можно вычислить по формуле:

S = ∫(y1 - y2)dx от x = 2 до x = 5.

Подставляем функции:

S = ∫(8x - x^2 - 2 - (x + 8))dx от 2 до 5.

Упрощаем подынтегральное выражение:

S = ∫(8x - x^2 - 2 - x - 8)dx = ∫(-x^2 + 7x - 10)dx.

Теперь найдём первообразную:

∫(-x^2 + 7x - 10)dx = -1/3*x^3 + (7/2)*x^2 - 10x.

Теперь подставим пределы интегрирования от 2 до 5:

S = [-1/3*(5^3) + (7/2)*(5^2) - 10*5] - [-1/3*(2^3) + (7/2)*(2^2) - 10*2].

Вычисляем:

• Для x = 5: -1/3*125 + 7/2*25 - 50 = -125/3 + 175/2 - 50 = -125/3 + 262.5 - 150 = 262.5 - 150 - 125/3.
• Для x = 2: -1/3*8 + 7/2*4 - 20 = -8/3 + 14 - 20 = -8/3 - 6.

Теперь подставляем и считаем разность. После упрощений мы получим площадь фигуры.

В итоге, вы получите значение площади между этими двумя линиями. Если у вас есть вопросы по какому-либо шагу, не стесняйтесь спрашивать!