Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной двумя линиями, нам нужно выполнить несколько шагов:

1. Найти точки пересечения линий.
2. Определить, какая функция выше на отрезке между точками пересечения.
3. Вычислить площадь между кривыми с помощью интеграла.

Теперь давайте разберем каждый шаг подробнее.

Шаг 1: Найти точки пересечения линий.

Для этого приравняем уравнения двух функций:

8x - x^2 - 2 = x + 8.

Переносим все с одной стороны:

-x^2 + 8x - x - 2 - 8 = 0.

Упрощаем уравнение:

-x^2 + 7x - 10 = 0.

Умножим на -1, чтобы упростить:

x^2 - 7x + 10 = 0.

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения. Используем дискриминант:

D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 * 1 * 10 = 49 - 40 = 9.

Корни можно найти по формуле:

x1,2 = (7 ± √D) / 2 = (7 ± 3) / 2.

Таким образом, получаем:

• x1 = (7 + 3) / 2 = 5,
• x2 = (7 - 3) / 2 = 2.

Точки пересечения находятся в x = 2 и x = 5.

Шаг 2: Определить, какая функция выше.

Теперь нужно выяснить, какая из функций больше на промежутке от 2 до 5. Подставим любое значение из этого промежутка, например, x = 3:

• y1 = 8(3) - (3)^2 - 2 = 24 - 9 - 2 = 13,
• y2 = 3 + 8 = 11.

Таким образом, y1 (8x - x^2 - 2) выше y2 (x + 8) на этом отрезке.

Шаг 3: Вычислить площадь между кривыми.

Площадь S можно вычислить по формуле:

S = ∫(y1 - y2)dx от x = 2 до x = 5.

Подставляем функции:

S = ∫(8x - x^2 - 2 - (x + 8))dx от 2 до 5.

Упрощаем подынтегральное выражение:

S = ∫(8x - x^2 - 2 - x - 8)dx = ∫(-x^2 + 7x - 10)dx.

Теперь найдём первообразную:

∫(-x^2 + 7x - 10)dx = -1/3*x^3 + (7/2)*x^2 - 10x.

Теперь подставим пределы интегрирования от 2 до 5:

S = [-1/3*(5^3) + (7/2)*(5^2) - 10*5] - [-1/3*(2^3) + (7/2)*(2^2) - 10*2].

Вычисляем:

• Для x = 5: -1/3*125 + 7/2*25 - 50 = -125/3 + 175/2 - 50 = -125/3 + 262.5 - 150 = 262.5 - 150 - 125/3.
• Для x = 2: -1/3*8 + 7/2*4 - 20 = -8/3 + 14 - 20 = -8/3 - 6.

Теперь подставляем и считаем разность. После упрощений мы получим площадь фигуры.

В итоге, вы получите значение площади между этими двумя линиями. Если у вас есть вопросы по какому-либо шагу, не стесняйтесь спрашивать!