Как можно вычислить площадь области, заключенной между графиками функций y=x^2-2x+2 и y=x?

Математика 11 класс Площадь фигуры, ограниченной кривыми площадь области графики функций y=x^2-2x+2 y=x вычисление площади математика 11 класс интеграл пересечение графиков Новый

Чтобы вычислить площадь области, заключенной между графиками функций y = x^2 - 2x + 2 и y = x, нам нужно выполнить несколько шагов:

1. Найти точки пересечения графиков. Для этого приравняем обе функции:
• x^2 - 2x + 2 = x
• Переносим все в одну сторону: x^2 - 3x + 2 = 0
• Решаем квадратное уравнение. Для этого можем воспользоваться формулой дискриминанта:
• D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 * 1 * 2 = 9 - 8 = 1
• Корни уравнения: x1 = (3 + √1) / 2 = 2, x2 = (3 - √1) / 2 = 1
2. Определить, какая функция выше в промежутке между точками пересечения. Для этого можно взять любое значение x из интервала (1, 2), например, x = 1.5:
• y1 = (1.5)^2 - 2 * 1.5 + 2 = 0.25
• y2 = 1.5
• Так как 1.5 > 0.25, то функция y = x выше функции y = x^2 - 2x + 2 на этом интервале.
3. Вычислить площадь между графиками. Площадь можно найти по формуле:
• Площадь = интеграл от 1 до 2 (верхняя функция - нижняя функция) dx
• Площадь = интеграл от 1 до 2 (x - (x^2 - 2x + 2)) dx
• Упрощаем подынтегральное выражение: x - (x^2 - 2x + 2) = -x^2 + 3x - 2
4. Вычисляем интеграл:
• Площадь = интеграл от 1 до 2 (-x^2 + 3x - 2) dx
• Находим первообразную: F(x) = -x^3/3 + (3/2)x^2 - 2x
• Теперь подставляем пределы интегрирования:
• F(2) = -2^3/3 + (3/2)*2^2 - 2*2 = -8/3 + 6 - 4 = -8/3 + 2 = -2/3
• F(1) = -1^3/3 + (3/2)*1^2 - 2*1 = -1/3 + 3/2 - 2 = -1/3 + 3/2 - 6/3 = -1/3 + 4.5/3 = 3.5/3 = 7/6
5. Теперь находим разность:
• Площадь = F(2) - F(1) = (-2/3) - (7/6)
• Приводим к общему знаменателю: -2/3 = -4/6
• Площадь = (-4/6) - (7/6) = -11/6
• Так как площадь не может быть отрицательной, берем модуль: Площадь = 11/6.

Таким образом, площадь области, заключенной между графиками данных функций, равна 11/6.