Как найти наибольшее и наименьшее значение функции (x^2 - x + 1) / (x^2 + x + 1) на отрезке [-2; 2]?

Математика 11 класс Оптимизация функций Наибольшее значение функции наименьшее значение функции функция дробного выражения экстремумы функции отрезок [-2; 2] анализ функции математика 11 класс нахождение экстремумов Новый

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции f(x) = (x^2 - x + 1) / (x^2 + x + 1) на отрезке [-2; 2] нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найти производную функции

Сначала найдем производную функции f(x). Для этого применим правило деления производных:

• Если u(x) = x^2 - x + 1 и v(x) = x^2 + x + 1, то f(x) = u(x) / v(x).
• Производная f'(x) будет равна (u'v - uv') / v^2.

Теперь найдем u' и v':

• u' = 2x - 1
• v' = 2x + 1

Подставим эти производные в формулу:

f'(x) = ((2x - 1)(x^2 + x + 1) - (x^2 - x + 1)(2x + 1)) / (x^2 + x + 1)^2.

Шаг 2: Найти критические точки

Для нахождения критических точек приравняем f'(x) к нулю:

((2x - 1)(x^2 + x + 1) - (x^2 - x + 1)(2x + 1)) = 0.

Решим это уравнение. Это может быть достаточно сложным, и вам может потребоваться упростить выражение и решить его, чтобы найти x.

Шаг 3: Проверить границы отрезка

Не забудьте проверить значения функции на границах отрезка:

• f(-2)
• f(2)

Шаг 4: Сравнить значения

Теперь вам нужно сравнить значения функции в критических точках, а также на границах отрезка:

• f(-2)
• f(2)
• f(c), где c - критическая точка из шага 2.

Шаг 5: Найти наибольшее и наименьшее значение

Наибольшее значение из всех найденных будет наибольшим значением функции на отрезке, а наименьшее - наименьшим.

Таким образом, следуя этим шагам, вы сможете найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке.