Как найти наименьшее значение функции y = (x-2)^2 (x - 4) на отрезке [-2; 5]?

Математика 11 класс Оптимизация функций наименьшее значение функции y = (x-2)^2 (x - 4) отрезок [-2; 5] математика 11 класс оптимизация функции Новый

Чтобы найти наименьшее значение функции y = (x - 2)^2 (x - 4) на отрезке [-2; 5], нужно выполнить несколько шагов:

1. Определить критические точки функции:
   • Сначала найдем производную функции y.
   • Для этого используем правило произведения и правило дифференцирования.
   • Функция y = (x - 2)^2 (x - 4) является произведением двух функций: u = (x - 2)^2 и v = (x - 4).
   • Найдём производную y' = u'v + uv'.
   • Сначала найдем u' и v':
     • u' = 2(x - 2),
     • v' = 1.
   • Теперь подставим в формулу для производной:
     • y' = 2(x - 2)(x - 4) + (x - 2)^2(1).
   • Упростим полученное выражение:
     • y' = 2(x - 2)(x - 4) + (x - 2)^2 = (x - 2)(2(x - 4) + (x - 2)).
     • y' = (x - 2)(3x - 10).
   • Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
     • (x - 2)(3x - 10) = 0.
   • Это уравнение имеет два решения:
     • x - 2 = 0, => x = 2,
     • 3x - 10 = 0, => x = 10/3 ≈ 3.33.
2. Определить значения функции в критических точках и на границах отрезка:
   • Теперь нам нужно вычислить значение функции y в следующих точках: -2, 2, 10/3 и 5.
   • Подставим эти значения в функцию:
     • y(-2) = (-2 - 2)^2 * (-2 - 4) = 16 * (-6) = -96,
     • y(2) = (2 - 2)^2 * (2 - 4) = 0 * (-2) = 0,
     • y(10/3) = (10/3 - 2)^2 * (10/3 - 4) = (4/3)^2 * (-2/3) = 16/9 * (-2/3) = -32/27 ≈ -1.19,
     • y(5) = (5 - 2)^2 * (5 - 4) = 3^2 * 1 = 9.
3. Сравнить найденные значения:
   • Теперь сравним все найденные значения:
     • y(-2) = -96,
     • y(2) = 0,
     • y(10/3) ≈ -1.19,
     • y(5) = 9.
   • Наименьшее значение из этих чисел -96.

Ответ: Наименьшее значение функции y = (x - 2)^2 (x - 4) на отрезке [-2; 5] равно -96, и оно достигается в точке x = -2.