Как найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями: y=√x, y=0, x=1, x=4?

Математика 11 класс Объем тел вращения Объём тела вращение вокруг оси криволинейная трапеция интегралы математический анализ y=√x области интегрирования ось абсцисс Новый

Чтобы найти объем тела, полученного при вращении криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс, мы можем использовать метод дисков. Давайте рассмотрим шаги, которые нужно выполнить для решения этой задачи.

1. Определение границ интегрирования:

   В данной задаче кривая y=√x ограничена вертикальными линиями x=1 и x=4. Это означает, что мы будем интегрировать от x=1 до x=4.

2. Формула для объема:

   Объем тела вращения V можно найти по формуле:

   V = π ∫[a, b] (f(x))² dx

   где f(x) - функция, задающая верхнюю границу (в нашем случае это y=√x), а a и b - границы интегрирования (1 и 4).

3. Подстановка функции:

   В нашем случае f(x) = √x, поэтому (f(x))² = (√x)² = x.

4. Запись интеграла:

   Теперь запишем интеграл для объема:

   V = π ∫[1, 4] x dx
5. Вычисление интеграла:

   Вычислим интеграл:

   • Интеграл от x равен (1/2)x².

   Поэтому:

   ∫[1, 4] x dx = (1/2)(4²) - (1/2)(1²) = (1/2)(16) - (1/2)(1) = 8 - 0.5 = 7.5.
6. Подстановка в формулу объема:

   Теперь подставим значение интеграла в формулу для объема:

   V = π * 7.5 = 7.5π.

Таким образом, объем тела, полученного при вращении криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс, равен 7.5π кубических единиц.