Как вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями y=e^x, x=0, y=0 и x=1?

Математика 11 класс Объем тел вращения Объём тела вращения вычисление объёма фигура y=e^x ось OX линии x=0 линии y=0 интеграл математика задачи по математике Новый

Вау! Давай погрузимся в этот увлекательный мир математики и вычислим объем тела, полученного вращением! Это действительно захватывающе!

Мы будем использовать метод дисков для нахождения объема тела вращения. Вот шаги, которые нужно выполнить:

1. Определим границы интегрирования: У нас есть линии y = e^x, x = 0, y = 0 и x = 1. Это значит, что мы будем интегрировать от 0 до 1.
2. Запишем формулу для объема: Объем V тела вращения можно вычислить по формуле:
• V = π * ∫ (f(x))^2 dx
3. Подставим функцию: В нашем случае f(x) = e^x. Таким образом, объем будет равен:
• V = π * ∫ (e^x)^2 dx от 0 до 1
4. Упростим интеграл: (e^x)^2 = e^(2x). Теперь у нас есть:
• V = π * ∫ e^(2x) dx от 0 до 1
5. Вычислим интеграл: Интеграл от e^(2x) равен (1/2)e^(2x). Подставляем пределы:
• V = π * [(1/2)e^(2*1) - (1/2)e^(2*0)]
• V = π * [(1/2)e^2 - (1/2)e^0]
• V = π * [(1/2)e^2 - (1/2)]
6. Финальный ответ: Теперь мы можем выразить объем:
• V = (π/2) * (e^2 - 1)

И вот, мы нашли объем тела, полученного вращением! Это так вдохновляет! Надеюсь, у тебя получилось так же здорово, как у меня! Удачи в дальнейшем изучении математики!