Какой объем тела вращения получится, если фигура, ограниченная линиями y^2=2px и x=a, будет вращаться вокруг оси Ox?

Математика 11 класс Объем тел вращения Объём тела вращения фигура вращения математика 11 класс уравнение y^2=2px ось OX задача по математике

Чтобы найти объем тела вращения, образованного фигурой, ограниченной параболой y^2 = 2px и вертикальной прямой x = a, при вращении вокруг оси Ox, мы будем использовать метод дисков.

Шаг 1: Определим границы интегрирования.

Парабола y^2 = 2px является функцией y, зависящей от x. Мы можем выразить y через x:

• y = ±√(2px).

Мы рассматриваем верхнюю часть параболы, то есть y = √(2px). Границы интегрирования будут от x = 0 (начало параболы) до x = a (вертикальная прямая).

Шаг 2: Запишем формулу объема.

Объем V тела вращения можно найти по формуле:

• V = π * ∫[a, 0] (f(x))^2 dx,

где f(x) - это функция, определяющая радиус диска. В нашем случае f(x) = √(2px).

Шаг 3: Подставим функцию в формулу.

Теперь подставим f(x) в формулу:

• V = π * ∫[0, a] (√(2px))^2 dx.

Упрощая, получаем:

• (√(2px))^2 = 2px,

поэтому:

• V = π * ∫[0, a] 2px dx.

Шаг 4: Вычислим интеграл.

Теперь вычислим интеграл:

• V = π * 2p * ∫[0, a] x dx.

Интеграл от x равен (x^2)/2, поэтому:

• ∫[0, a] x dx = (a^2)/2.

Теперь подставим это значение обратно в уравнение для объема:

• V = π * 2p * (a^2)/2.

Сокращая, получаем:

• V = πpa^2.

Шаг 5: Запишем окончательный ответ.

Объем тела вращения, полученного при вращении фигуры, ограниченной линиями y^2 = 2px и x = a, вокруг оси Ox, равен:

• V = πpa^2.

Для нахождения объема тела вращения, образованного вращением фигуры, ограниченной кривой y^2 = 2px и прямой x = a, вокруг оси Ox, мы будем использовать метод дисков (или цилиндров).

Шаги решения:

1. Определение границ интегрирования:
   • Кривая y^2 = 2px описывает параболу, которая открыта вправо.
   • Прямая x = a является вертикальной линией, которая ограничивает фигуру слева.
   • Мы находим точки пересечения кривой и прямой, подставив x = a в уравнение параболы: y^2 = 2pa. Таким образом, максимальные значения y будут равны ±√(2pa).
2. Формула для объема:
   • Объем V тела вращения можно выразить через интеграл:
   • V = π * ∫[0, a] (f(x))^2 dx, где f(x) - функция, определяющая радиус диска, который равен y.
3. Нахождение функции y:
   • Из уравнения y^2 = 2px следует, что y = ±√(2px).
   • При вращении вокруг оси Ox мы берем положительное значение y, то есть f(x) = √(2px).
4. Подстановка в формулу:
   • Теперь подставим f(x) в формулу для объема:
   • V = π * ∫[0, a] (√(2px))^2 dx = π * ∫[0, a] (2px) dx.
5. Вычисление интеграла:
   • Вычисляем интеграл: V = π * ∫[0, a] (2px) dx = π * [p * x^2] от 0 до a.
   • Подставляем пределы: V = π * (p * a^2 - p * 0^2) = π * pa^2.

Ответ: Объем тела вращения, полученного при вращении фигуры, ограниченной линиями y^2 = 2px и x = a вокруг оси Ox, равен V = πpa^2.