Как найти объём тела, полученного при вращении вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями y=3-x, x=0 и y=0?

Математика 11 класс Объем тел вращения Объём тела вращение вокруг оси фигура y=3-x математические задачи интегралы площадь фигуры объём вращения ось OX ограниченные линии 11 класс математика Новый

Чтобы найти объём тела, полученного при вращении вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями y=3-x, x=0 и y=0, мы можем использовать метод дисков. Давайте разберёмся с шагами этого процесса.

1. Определим границы интегрирования:
   • Линия y=3-x пересекает ось y, когда x=0, то есть в точке (0, 3).
   • Линия y=3-x пересекает ось x, когда y=0. Это происходит при 3-x=0, что даёт x=3. Таким образом, фигура ограничена от x=0 до x=3.
2. Запишем уравнение для объёма:
   • Объём V тела вращения можно найти по формуле: V = π * ∫[a, b] (f(x))^2 dx, где f(x) - это функция, описывающая линию, которую мы вращаем.
3. Подставим нашу функцию:
   • В нашем случае f(x) = 3 - x.
   • Границы интегрирования a=0 и b=3.
4. Запишем интеграл:
   • Теперь подставим всё в формулу: V = π * ∫[0, 3] (3 - x)^2 dx.
5. Вычислим интеграл:
   • Сначала раскроем скобки: (3 - x)^2 = 9 - 6x + x^2.
   • Теперь интегрируем: ∫(9 - 6x + x^2) dx = 9x - 3x^2 + (1/3)x^3 + C.
6. Подставим границы интегрирования:
   • Теперь подставляем x=3 и x=0 в полученную функцию: V = π * [ (9*3 - 3*3^2 + (1/3)*3^3) - (9*0 - 3*0^2 + (1/3)*0^3) ].
   • Вычисляем: V = π * [ 27 - 27 + 9 ] = π * 9.
7. Запишем окончательный ответ:
   • Таким образом, объём тела, полученного при вращении, равен 9π.

Если у вас есть дополнительные вопросы или что-то осталось непонятным, не стесняйтесь спрашивать!