Чтобы найти первообразную функции f(x) = cos(x/3 + 2), нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем процесс поэтапно.

1. Определение первообразной: Первообразная функции f(x) - это такая функция F(x), производная которой равна f(x). То есть, F'(x) = f(x).
2. Применение свойства интегрирования: Мы знаем, что интеграл от косинуса имеет следующий вид:
   • ∫cos(ax)dx = (1/a) * sin(ax) + C, где a - константа, а C - произвольная постоянная.
3. Нахождение производной внутренней функции: В нашем случае, у нас есть функция cos(x/3 + 2). Здесь x/3 + 2 - это внутреннее выражение. Мы можем обозначить его как u = x/3 + 2. Тогда производная u по x равна:
   • du/dx = 1/3.
4. Применение замены переменной: Теперь мы можем выразить интеграл от f(x) через u:
   • ∫cos(u) * (du/dx)dx = ∫cos(u) * (1/3)dx.
5. Интегрирование: Теперь мы можем использовать формулу интегрирования косинуса:
   • ∫cos(u) du = sin(u) + C.
   Таким образом, мы получаем:
   • (1/3) * sin(u) + C.
6. Возвращение к оригинальной переменной: Не забываем, что u = x/3 + 2. Подставляем обратно:
   • F(x) = (1/3) * sin(x/3 + 2) + C.

Таким образом, первообразная функции f(x) = cos(x/3 + 2) равна:

F(x) = (1/3) * sin(x/3 + 2) + C, где C - произвольная постоянная интегрирования.