Как найти площадь области, ограниченной графиками у=х^2 и у=корень из х?

Математика 11 класс Площадь фигуры, ограниченной кривыми площадь области графики функций у=х^2 у=корень из х математика 11 класс Новый

Чтобы найти площадь области, ограниченной графиками функций y = x^2 и y = √x, следуем следующим шагам:

1. Найдем точки пересечения графиков.

Для этого приравняем уравнения двух функций:

x^2 = √x

Перепишем это уравнение:

x^2 - √x = 0

Вынесем √x за скобки:

√x (√x - 1) = 0

Теперь решим это уравнение:

• √x = 0, отсюда x = 0;
• √x - 1 = 0, отсюда √x = 1, следовательно, x = 1.

Таким образом, точки пересечения находятся в x = 0 и x = 1.

2. Определим, какая функция выше на интервале [0, 1].

Подставим значение x = 0.5:

• y = (0.5)^2 = 0.25;
• y = √(0.5) ≈ 0.707.

Таким образом, на интервале [0, 1] функция y = √x выше, чем y = x^2.

3. Запишем интеграл для нахождения площади.

Площадь области, ограниченной графиками, можно найти по формуле:

Площадь = ∫(верхняя функция - нижняя функция) dx от a до b.

В нашем случае:

Площадь = ∫(√x - x^2) dx от 0 до 1.

4. Вычислим интеграл.

Найдём первообразные для функций √x и x^2:

• ∫√x dx = (2/3)x^(3/2);
• ∫x^2 dx = (1/3)x^3.

Теперь подставим пределы интегрирования:

∫(√x - x^2) dx от 0 до 1 = [(2/3)(1)^(3/2) - (1/3)(1)^3] - [(2/3)(0)^(3/2) - (1/3)(0)^3].

Это упрощается до:

=(2/3) - (1/3) = 1/3.

5. Запишем окончательный ответ.

Таким образом, площадь области, ограниченной графиками y = x^2 и y = √x, равна 1/3.