Как найти производную функции (2x+3) в степени tgx, где вся скобка возводится в степень tgx, и производную функции ln(arcsin(√(1-x²)))?

Математика 11 класс Дифференциальное исчисление производная функции производная 2x+3 производная tgx ln(arcsin(√(1-x²))) математика 11 класс Новый

Давайте разберем оба вопроса по очереди.

1. Найдем производную функции (2x + 3) в степени tg(x):

Функция имеет вид y = (2x + 3)^(tg(x)). Для нахождения производной такой функции удобно использовать правило дифференцирования сложной функции и логарифмическое дифференцирование.

1. Сначала возьмем натуральный логарифм от обеих сторон:
2. ln(y) = tg(x) * ln(2x + 3).
3. Теперь найдем производную по x:

Используем правило производной для логарифма и произведения:

1. 1/y * dy/dx = (sec^2(x) * ln(2x + 3)) + (tg(x) * (1/(2x + 3) * 2)).
2. Теперь умножим обе стороны на y:
3. dy/dx = y * [(sec^2(x) * ln(2x + 3)) + (tg(x) * (2/(2x + 3)))].

Так как y = (2x + 3)^(tg(x)), подставим это значение:

dy/dx = (2x + 3)^(tg(x)) * [(sec^2(x) * ln(2x + 3)) + (tg(x) * (2/(2x + 3)))].

Это и будет производная функции (2x + 3)^(tg(x)).

2. Теперь найдем производную функции ln(arcsin(√(1 - x²))):

Функция имеет вид y = ln(arcsin(√(1 - x²))). Здесь также удобно использовать логарифмическое дифференцирование.

1. Сначала найдем производную внутренней функции arcsin(√(1 - x²)).
2. Используем цепное правило:

dy/dx = (1/(arcsin(√(1 - x²)))) * d(arcsin(√(1 - x²)))/dx.

Теперь найдем производную arcsin(√(1 - x²)).

1. Сначала найдем производную √(1 - x²):
2. d(√(1 - x²))/dx = (1/2√(1 - x²)) * (-2x) = -x/√(1 - x²).
3. Теперь используем правило производной arcsin(u): d(arcsin(u))/du = 1/√(1 - u²), где u = √(1 - x²):
4. Таким образом, d(arcsin(√(1 - x²)))/dx = 1/√(1 - (1 - x²)) * (-x/√(1 - x²)) = -x/√(x²(1 - x²)) = -1/√(1 - x²).

Теперь подставим это значение в производную y:

dy/dx = (1/arcsin(√(1 - x²))) * (-1/√(1 - x²)).

Таким образом, окончательная производная функции ln(arcsin(√(1 - x²))) будет:

dy/dx = -1/(arcsin(√(1 - x²)) * √(1 - x²)).

Надеюсь, это объяснение было полезным и понятным. Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!