Как найти производную функции f(x)=7x^4-5x^3-x+25, следуя следующим шагам: 1) определить область определения и проверить непрерывность функции; 2) найти производную y`(x); 3) решить уравнение y`(x)=0; 4) построить диаграмму производной y`(x); 5) определить монотонность функции, используя признаки возрастания и убывания?

Математика 11 класс Дифференциальное исчисление производная функции область определения непрерывность функции нахождение производной уравнение производной диаграмма производной монотонность функции признаки возрастания признаки убывания Новый

Давайте последовательно рассмотрим каждый шаг для нахождения производной функции f(x) = 7x^4 - 5x^3 - x + 25.

1) Определить область определения и проверить непрерывность функции:

Функция f(x) = 7x^4 - 5x^3 - x + 25 является многочленом. Многочлены определены для всех действительных чисел, поэтому:

• Область определения: R (все действительные числа).
• Поскольку многочлены непрерывны на всей своей области определения, функция f(x) также непрерывна на R.

2) Найти производную y`(x):

Чтобы найти производную функции, мы используем правило дифференцирования для каждого члена многочлена:

• Производная от 7x^4: 4 * 7x^(4-1) = 28x^3.
• Производная от -5x^3: 3 * -5x^(3-1) = -15x^2.
• Производная от -x: -1.
• Производная от константы 25: 0.

Таким образом, производная функции:

y`(x) = 28x^3 - 15x^2 - 1.

3) Решить уравнение y`(x) = 0:

Теперь мы найдем корни уравнения:

28x^3 - 15x^2 - 1 = 0.

Это кубическое уравнение, которое можно решить различными методами, например, методом подбора или с помощью численных методов. Предположим, мы нашли один корень, скажем, x = a. Мы можем использовать деление многочлена, чтобы упростить уравнение и найти другие корни.

4) Построить диаграмму производной y`(x):

Для построения диаграммы производной нужно определить знаки производной на промежутках, заданных корнями. Если у нас есть корни a, b и c, то мы исследуем знаки производной на интервалах:

• (-∞, a)
• (a, b)
• (b, c)
• (c, +∞)

На каждом интервале мы подставляем тестовые точки в производную y`(x) и определяем, положительна она или отрицательна.

5) Определить монотонность функции:

Используя результаты из предыдущего шага, мы можем сделать выводы о монотонности функции:

• Если y`(x) > 0 на интервале, то функция f(x) возрастает на этом интервале.
• Если y`(x) < 0 на интервале, то функция f(x) убывает на этом интервале.
• В точках, где y`(x) = 0, функция может иметь экстремумы (максимумы или минимумы).

Таким образом, мы можем определить интервалы возрастания и убывания функции f(x), основываясь на знаках производной на соответствующих промежутках.