Давайте последовательно рассмотрим каждый шаг для нахождения производной функции f(x) = 7x^4 - 5x^3 - x + 25.

Функция f(x) = 7x^4 - 5x^3 - x + 25 является многочленом. Многочлены определены для всех действительных чисел, поэтому:

• Область определения: R (все действительные числа).
• Поскольку многочлены непрерывны на всей своей области определения, функция f(x) также непрерывна на R.

Чтобы найти производную функции, мы используем правило дифференцирования для каждого члена многочлена:

• Производная от 7x^4: 4 * 7x^(4-1) = 28x^3.
• Производная от -5x^3: 3 * -5x^(3-1) = -15x^2.
• Производная от -x: -1.
• Производная от константы 25: 0.

Таким образом, производная функции:

y`(x) = 28x^3 - 15x^2 - 1.

Теперь мы найдем корни уравнения:

28x^3 - 15x^2 - 1 = 0.

Это кубическое уравнение, которое можно решить различными методами, например, методом подбора или с помощью численных методов. Предположим, мы нашли один корень, скажем, x = a. Мы можем использовать деление многочлена, чтобы упростить уравнение и найти другие корни.

Для построения диаграммы производной нужно определить знаки производной на промежутках, заданных корнями. Если у нас есть корни a, b и c, то мы исследуем знаки производной на интервалах:

• (-∞, a)
• (a, b)
• (b, c)
• (c, +∞)

На каждом интервале мы подставляем тестовые точки в производную y`(x) и определяем, положительна она или отрицательна.

Используя результаты из предыдущего шага, мы можем сделать выводы о монотонности функции:

• Если y`(x) > 0 на интервале, то функция f(x) возрастает на этом интервале.
• Если y`(x) < 0 на интервале, то функция f(x) убывает на этом интервале.
• В точках, где y`(x) = 0, функция может иметь экстремумы (максимумы или минимумы).

Таким образом, мы можем определить интервалы возрастания и убывания функции f(x),основываясь на знаках производной на соответствующих промежутках.