Как найти производную функции f(x)=x*(x+3), используя правила: 1) определить область определения и выяснить, является ли функция непрерывной; 2) найти производную y`(x); 3) решить уравнение y`(x)=0; 4) построить диаграмму производной y`(x); 5) определить монотонность функции, используя признаки возрастания и убывания функции?

Математика 11 класс Дифференциальное исчисление производная функции область определения непрерывность функции нахождение производной уравнение производной диаграмма производной монотонность функции признаки возрастания признаки убывания Новый

Давайте разберем шаги для нахождения производной функции f(x) = x * (x + 3).

1. Определение области определения и проверка на непрерывность

Область определения функции f(x) = x * (x + 3) включает все действительные числа, так как это многочлен. Многочлены определены и непрерывны на всей числовой прямой. Следовательно, область определения функции:

• Область определения: R (все действительные числа).
• Функция непрерывна на всей области определения.

2. Найти производную y'(x)

Для нахождения производной функции f(x) = x * (x + 3) воспользуемся правилом произведения:

• Если u(x) = x и v(x) = (x + 3), то f(x) = u(x) * v(x).
• По правилу произведения: (u * v)' = u' * v + u * v'.

Теперь найдем производные u' и v':

• u' = 1 (производная x).
• v' = 1 (производная (x + 3)).

Теперь подставим в формулу:

• y'(x) = u' * v + u * v' = 1 * (x + 3) + x * 1 = (x + 3) + x = 2x + 3.

3. Решить уравнение y'(x) = 0

Теперь решим уравнение:

• 2x + 3 = 0.
• 2x = -3.
• x = -3/2.

Таким образом, производная равна нулю в точке x = -3/2.

4. Построить диаграмму производной y'(x)

Для построения диаграммы производной y'(x) = 2x + 3, нужно определить, когда производная положительна, когда отрицательна:

• y'(x) > 0, когда 2x + 3 > 0, т.е. x > -3/2.
• y'(x) < 0, когда 2x + 3 < 0, т.е. x < -3/2.

На числовой прямой можно отметить точку x = -3/2 и указать, что до этой точки производная отрицательна, а после - положительна.

5. Определение монотонности функции

Исходя из анализа производной, мы можем сделать вывод о монотонности функции:

• Функция возрастает на интервале (-3/2, +∞), так как производная положительна.
• Функция убывает на интервале (-∞, -3/2), так как производная отрицательна.

Таким образом, функция f(x) = x * (x + 3) имеет минимум в точке x = -3/2.

Мы разобрали все шаги по нахождению производной и определению монотонности функции. Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!