Давайте разберем шаги для нахождения производной функции f(x) = x * (x + 3).

Область определения функции f(x) = x * (x + 3) включает все действительные числа, так как это многочлен. Многочлены определены и непрерывны на всей числовой прямой. Следовательно, область определения функции:

• Область определения: R (все действительные числа).
• Функция непрерывна на всей области определения.

Для нахождения производной функции f(x) = x * (x + 3) воспользуемся правилом произведения:

• Если u(x) = x и v(x) = (x + 3),то f(x) = u(x) * v(x).
• По правилу произведения: (u * v)' = u' * v + u * v'.

Теперь найдем производные u' и v':

• u' = 1 (производная x).
• v' = 1 (производная (x + 3)).

Теперь подставим в формулу:

• y'(x) = u' * v + u * v' = 1 * (x + 3) + x * 1 = (x + 3) + x = 2x + 3.

Теперь решим уравнение:

• 2x + 3 = 0.
• 2x = -3.
• x = -3/2.

Таким образом, производная равна нулю в точке x = -3/2.

Для построения диаграммы производной y'(x) = 2x + 3, нужно определить, когда производная положительна, когда отрицательна:

• y'(x) > 0, когда 2x + 3 > 0, т.е. x > -3/2.
• y'(x) < 0, когда 2x + 3 < 0, т.е. x < -3/2.

На числовой прямой можно отметить точку x = -3/2 и указать, что до этой точки производная отрицательна, а после - положительна.

Исходя из анализа производной, мы можем сделать вывод о монотонности функции:

• Функция возрастает на интервале (-3/2, +∞),так как производная положительна.
• Функция убывает на интервале (-∞, -3/2),так как производная отрицательна.

Таким образом, функция f(x) = x * (x + 3) имеет минимум в точке x = -3/2.

Мы разобрали все шаги по нахождению производной и определению монотонности функции. Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!