Как найти производную функции u в точке M по направлению к точке P?

u = xz2/y + xzy2 + y/z4; M(1, 1, -1); P(7, -2, 1)

Математика 11 класс Производные и их применение производная функции направление к точке математика точка M точка P вычисление производной частные производные уравнение функции координаты точки анализ функции Новый

Для нахождения производной функции u в точке M по направлению к точке P, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Найти градиент функции u

Градиент функции u обозначается как ∇u и представляет собой вектор, составленный из частных производных функции u по всем переменным (x, y, z). Нам нужно найти частные производные:

• ∂u/∂x
• ∂u/∂y
• ∂u/∂z

Функция задана как:

u = xz^2/y + xzy^2 + y/z^4

Теперь найдем каждую из производных:

• ∂u/∂x: Применим правила дифференцирования:
• ∂(xz^2/y) / ∂x = z^2/y
• ∂(xzy^2) / ∂x = zy^2
• ∂(y/z^4) / ∂x = 0
• Таким образом, ∂u/∂x = z^2/y + zy^2.
• ∂u/∂y: Аналогично:
• ∂(xz^2/y) / ∂y = -xz^2/y^2
• ∂(xzy^2) / ∂y = xz(2y) = 2xyz
• ∂(y/z^4) / ∂y = 1/z^4
• Таким образом, ∂u/∂y = -xz^2/y^2 + 2xyz + 1/z^4.
• ∂u/∂z: Теперь найдем производную по z:
• ∂(xz^2/y) / ∂z = (2xz)/y
• ∂(xzy^2) / ∂z = xy^2
• ∂(y/z^4) / ∂z = -4y/z^5
• Таким образом, ∂u/∂z = (2xz)/y + xy^2 - 4y/z^5.

Теперь мы можем записать градиент:

∇u = (∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z).

Шаг 2: Подставить координаты точки M в градиент

Теперь подставим координаты точки M(1, 1, -1) в градиент:

• ∂u/∂x в M = z^2/y + zy^2 = (-1)^2/1 + (-1)(1^2) = 1 - 1 = 0.
• ∂u/∂y в M = -xz^2/y^2 + 2xyz + 1/z^4 = -1(-1)^2/(1^2) + 2(1)(-1)(1) + 1/(-1)^4 = -1 - 2 + 1 = -2.
• ∂u/∂z в M = (2xz)/y + xy^2 - 4y/z^5 = (2(1)(-1))/1 + (1)(1^2) - 4(1)/(-1)^5 = -2 + 1 + 4 = 3.

Таким образом, градиент в точке M равен:

∇u(M) = (0, -2, 3).

Шаг 3: Найти вектор направления

Теперь найдем вектор направления от точки M к точке P. Для этого вычтем координаты M из координат P:

• V = P - M = (7 - 1, -2 - 1, 1 - (-1)) = (6, -3, 2).

Шаг 4: Нормализация вектора направления

Чтобы использовать вектор направления для нахождения производной, его нужно нормализовать. Нормализация означает, что мы делим вектор на его длину:

• Длина вектора V = √(6^2 + (-3)^2 + 2^2) = √(36 + 9 + 4) = √49 = 7.
• Нормализованный вектор = V / ||V|| = (6/7, -3/7, 2/7).

Шаг 5: Найти производную функции u по направлению вектора

Теперь мы можем найти производную функции u в точке M по направлению к P:

Дериватив = ∇u(M) • (нормализованный вектор) = (0, -2, 3) • (6/7, -3/7, 2/7).

Вычислим скалярное произведение:

• 0 * (6/7) + (-2) * (-3/7) + 3 * (2/7) = 0 + 6/7 + 6/7 = 12/7.

Ответ: Производная функции u в точке M по направлению к точке P равна 12/7.