Как найти точку минимума функции y=(1-2x)cosx+2sinx+7 на промежутке (0; п/2)?
Как искать знаки производной на числовом промежутке?
Можно ли решить это без интернета?

Математика 11 класс Производные и их применение точка минимума функции производная функции знаки производной промежуток (0; π/2) математика решение задачи поиск минимума анализ функции Новый

Для нахождения точки минимума функции y = (1 - 2x)cos(x) + 2sin(x) + 7 на промежутке (0; π/2) необходимо выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Найти производную функции

Сначала найдем производную функции y по x. Используем правила дифференцирования:

• Производная суммы равна сумме производных.
• Производная произведения (u*v)' = u'v + uv'.
• Производная косинуса: (cos(x))' = -sin(x).
• Производная синуса: (sin(x))' = cos(x).

Таким образом, производная функции будет выглядеть следующим образом:

y' = d/dx[(1 - 2x)cos(x)] + d/dx[2sin(x)] + d/dx[7].

После применения правил, мы получим:

y' = -2cos(x) + (1 - 2x)(-sin(x)) + 2cos(x).

Упрощаем: y' = -2cos(x) - (1 - 2x)sin(x) + 2cos(x) = - (1 - 2x)sin(x).

Шаг 2: Найти критические точки

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Приравниваем производную к нулю:

- (1 - 2x)sin(x) = 0.

Это уравнение равно нулю, если:

• 1 - 2x = 0, что дает x = 1/2.
• sin(x) = 0, но на промежутке (0; π/2) синус не равен нулю.

Таким образом, единственная критическая точка на данном промежутке - это x = 1/2.

Шаг 3: Исследование знаков производной

Теперь нужно определить, является ли точка x = 1/2 точкой минимума или максимума. Для этого исследуем знак производной на промежутке (0; π/2).

Выберем тестовые точки:

• Для x = 0: y'(0) = - (1 - 2*0)sin(0) = 0.
• Для x = 1/4 (примерно 0.25): y'(1/4) = - (1 - 2*1/4)sin(1/4) = - (1/2)sin(1/4) < 0.
• Для x = 1/2: y'(1/2) = 0.
• Для x = 3/4 (примерно 0.75): y'(3/4) = - (1 - 2*3/4)sin(3/4) = (1/2)sin(3/4) > 0.

Таким образом, мы видим, что производная меняет знак с отрицательного на положительный в точке x = 1/2, что указывает на наличие минимума в этой точке.

Шаг 4: Проверка значения функции в критической точке

Теперь можем найти значение функции в точке минимума:

y(1/2) = (1 - 2*1/2)cos(1/2) + 2sin(1/2) + 7 = 0 + 2sin(1/2) + 7 = 2sin(1/2) + 7.

Заключение

Таким образом, точка минимума функции y = (1 - 2x)cos(x) + 2sin(x) + 7 на промежутке (0; π/2) - это x = 1/2. Мы также можем решить эту задачу без доступа к интернету, полагаясь на знания о производных и их свойствах.