Как найти производную функции: y = arcsin(√(1-3x))?

Математика 11 класс Производная функций производная функции y = arcsin(√(1-3x)) нахождение производной математика 11 класс правила дифференцирования Новый

Чтобы найти производную функции y = arcsin(√(1-3x)), мы будем использовать правило цепочки. Это правило позволяет находить производные сложных функций, состоящих из нескольких подфункций.

Шаги для нахождения производной:

1. Определим внешнюю и внутреннюю функции:
   • Внешняя функция: y = arcsin(u), где u = √(1-3x).
   • Внутренняя функция: u = √(1-3x).
2. Найдем производную внешней функции:
   • Производная y = arcsin(u) равна y' = 1 / √(1 - u²).
3. Найдем производную внутренней функции:
   • Для u = √(1-3x) можно записать это как u = (1-3x)^(1/2).
   • Используя правило производной степени, получаем: u' = (1/2)(1-3x)^(-1/2) * (-3) = -3 / (2√(1-3x)).
4. Применим правило цепочки:
   • Теперь, чтобы найти производную y', мы умножим производную внешней функции на производную внутренней функции:
   • y' = (1 / √(1 - u²)) * u'.
   • Подставим u и u': y' = (1 / √(1 - (√(1-3x))²)) * (-3 / (2√(1-3x))).
   • Упростим выражение: y' = (1 / √(1 - (1-3x))) * (-3 / (2√(1-3x))).
   • Так как 1 - (1-3x) = 3x, получаем y' = (1 / √(3x)) * (-3 / (2√(1-3x))).
5. Итоговая производная:
   • Таким образом, окончательная форма производной будет:
   • y' = -3 / (2√(3x) * √(1-3x)).

Это и есть производная функции y = arcsin(√(1-3x)).