Как найти производную следующих функций:
y=ln(x^6)
y=lg(5x)
Желательно использовать метод через u?

Математика 11 класс Производная функций производная функции ln(x^6) lg(5x) метод через u математика Новый

Для нахождения производной функций y = ln(x^6) и y = lg(5x) мы можем использовать метод замены переменной, обозначая внутреннюю функцию через u. Этот метод позволяет упростить процесс дифференцирования, особенно когда функции имеют сложные структуры.

Рассмотрим каждую функцию по отдельности.

1. Функция y = ln(x^6)

Для начала, применим замену переменной:

• u = x^6

Теперь мы можем переписать функцию:

• y = ln(u)

Теперь найдем производные dy/du и du/dx:

• dy/du = 1/u (по правилу дифференцирования логарифма)
• du/dx = 6x^5 (по правилу дифференцирования степенной функции)

Теперь, используя правило цепочки, мы можем найти dy/dx:

• dy/dx = dy/du * du/dx = (1/u) * (6x^5)

Подставляя обратно значение u, получаем:

• dy/dx = (6x^5) / (x^6) = 6/x

2. Функция y = lg(5x)

Для этой функции также применим замену переменной:

• u = 5x

Теперь функция переписывается как:

• y = lg(u)

Найдем производные dy/du и du/dx:

• dy/du = 1/(u * ln(10)) (по правилу дифференцирования логарифма с основанием 10)
• du/dx = 5 (по правилу дифференцирования линейной функции)

Теперь, используя правило цепочки, находим dy/dx:

• dy/dx = dy/du * du/dx = (1/(u * ln(10))) * 5

Подставляя обратно значение u, получаем:

• dy/dx = 5 / (5x * ln(10)) = 1 / (x * ln(10))

Таким образом, производные функций:

• Для y = ln(x^6): dy/dx = 6/x
• Для y = lg(5x): dy/dx = 1 / (x * ln(10))