Как найти производные следующих функций: 1) y^2cosx = a^2sin3xy 2) система x = sin t, y = ln cos t?

Математика 11 класс Дифференциальное исчисление производные функций математика 11 класс система уравнений нахождение производной тригонометрические функции логарифмические функции y^2cosx a^2sin3xy x = sin t y = ln cos t Новый

Давайте разберем, как находить производные для данных функций по шагам.

1) Для функции y^2 * cos(x) = a^2 * sin(3xy):

Это уравнение неявно задает зависимость y от x. Чтобы найти производную, мы будем использовать правило неявной дифференциации. Вот шаги:

1. Дифференцируем обе стороны уравнения по x.
2. При дифференцировании левой части y^2 * cos(x) используем правило произведения:
• Первая функция: y^2, производная: 2y * (dy/dx) (по правилу производной сложной функции).
• Вторая функция: cos(x), производная: -sin(x).
• Итак, производная левой части: (2y * (dy/dx) * cos(x)) + (y^2 * (-sin(x))).
3. Теперь дифференцируем правую часть a^2 * sin(3xy):
• Здесь также используем правило произведения и цепное правило:
• Производная: a^2 * (3y * (dx/dx) * cos(3xy) + 3x * (dy/dx) * cos(3xy)).
4. Теперь у нас есть уравнение с производной:
• (2y * (dy/dx) * cos(x)) - (y^2 * sin(x)) = a^2 * (3y * cos(3xy) + 3x * (dy/dx) * cos(3xy)).
5. Решаем это уравнение относительно (dy/dx).
6. Переносим все члены с (dy/dx) в одну сторону, а остальные в другую.

2) Для системы x = sin(t), y = ln(cos(t)):

Здесь мы имеем параметрические уравнения. Чтобы найти производные, мы можем воспользоваться формулой:

• (dy/dx) = (dy/dt) / (dx/dt).

Теперь давайте найдем (dy/dt) и (dx/dt):

1. Для x = sin(t):
• dx/dt = cos(t).
2. Для y = ln(cos(t)):
• dy/dt = -tan(t) (по правилу производной логарифма).
3. Теперь подставляем в формулу:
• (dy/dx) = (-tan(t)) / (cos(t)) = -sin(t).

Таким образом, мы нашли производные для обеих функций. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно что-то уточнить, не стесняйтесь спрашивать!